fdokumen.id

ZK M HTSeite 6 von 12Modelllösung c)h' ( t ) 80 2 80 t t .93Aus der notwendigen Bedingung h ' ( t ) 0 für lokale Extremstellen ergeben sich die beidenLösungen t 0 und t 3 .140160 0 . Daher liegt an der Stelle t 3 0 (s. o.) und h ' ( 3,5) 99ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von h ' von nach – und damit ein lokales Maxi4490mum von h vor. Wegen h ( 0) 130 , h ( 3) 170 und h ( 3,5) 166,3 liegt bei t 027das absolute Minimum und bei t 3 das absolute Maximum von h im Intervall [ 0;3,5] vor.Zusätzlich gilt h ' ( 2)Der niedrigste Wasserstand an der Messstelle in Bonn im betrachteten Zeitraum beträgt130 cm, der höchste Wasserstand beträgt 170 cm.Modelllösung d)Die Gleichung h ( t ) 140 hat im Intervall [ 0;3,5] nur eine Lösung t1 mit t1 0,98 , dieGleichung h ( t ) 150 hat im Intervall [ 0;3,5] nur die Lösung t 1,5 .Damit gilt: Die Länge des Zeitraumes zwischen dem 20.10.2016, 0:00 Uhr, und dem23.10.2016, 12:00 Uhr, in dem der Wasserstand an der Messstelle in Bonn zwischen 140 cmund 150 cm gelegen hat, beträgt ungefähr 0,5 Tage.Modelllösung e)Wasserstand in cmtNur für den Dienstgebrauch!

ZK M HTSeite 7 von 127.Bewertungsbogen zur KlausurName des Prüflings: Kursbezeichnung:Schule:Aufgabe 1:Teilaufgabe PunktzahlDer Prüfling1gibt f ' ( x ) an.22berechnet f ' ( 2) .1erreichtePunktzahlSachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (3) . .Summe Teilaufgabe a)3Teilaufgabe PunktzahlDer Prüfling1entscheidet mit Hilfe der Eigenschaft f ' ( 0) 1 begründet, welcher der beidenGraphen der Graph von f ist.3Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (3) . .Summe Teilaufgabe b)3Summe Aufgabe 16Nur für den Dienstgebrauch!erreichtePunktzahl

ZK M HTSeite 8 von 12Aufgabe 2:Teilaufgabe PunktzahlDer Prüfling1stellt den beschriebenen Sachverhalt dar, indem er alle Prozentsätze in der Tabelleangibt.erreichtePunktzahl4Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) . .Summe Teilaufgabe a)4Teilaufgabe PunktzahlDer Prüfling1stellt einen Term für die Wahrscheinlichkeit auf, dass die Person ein Senior ist.erreichtePunktzahl2Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (2) . .Summe Teilaufgabe b)2Summe Aufgabe 26Aufgabe 3:Teilaufgabe PunktzahlDer Prüfling1ermittelt die in der Abbildung markierte Nullstelle a auf zwei Nachkommastellengenau.2Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (2) . .Summe Teilaufgabe a)2Nur für den Dienstgebrauch!erreichtePunktzahl

ZK M HTSeite 9 von 12Teilaufgabe b)AnforderungenLösungsqualitätDer PrüflingmaximalerreichbarePunktzahl1gibt f ' ( x ) an.22weist mit einer notwendigen Bedingung nach, dass x 2 eine mögliche lokaleExtremstelle der Funktion f ist.23weist rechnerisch nach, dass x 2 eine lokale Maximalstelle der Funktion f ist.2erreichtePunktzahlSachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (6) . .Summe Teilaufgabe b)6Teilaufgabe PunktzahlDer Prüfling12(1) zeichnet die Sekante s1 durch die Punkte H1 ( 2 56) und P1 ( 4 0) des Graphenvon f in die Abbildung ein und berechnet die Steigung von s1 .(2) bestimmt rechnerisch eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f imPunkt P1 ( 4 0) .343(3) zeichnet die Tangente t in die Abbildung ein.24(4) ermittelt durch systematisches Probieren die Koordinaten eines Punktes P2 so,dass die Bedingung erfüllt ist.3Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (12) . .Summe Teilaufgabe c)12Nur für den Dienstgebrauch!erreichtePunktzahl

ZK M HTSeite 10 von 12Teilaufgabe PunktzahlDer Prüfling1an.21gibt den Faktor2gibt eine Gleichung von g an.erreichtePunktzahl22Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) . .Summe Teilaufgabe d)4Summe Aufgabe 324Aufgabe 4:Teilaufgabe PunktzahlDer Prüfling1berechnet den Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn am 21.10.2016um 12:00 Uhr.erreichtePunktzahl3Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (3) . .Summe Teilaufgabe a)3Teilaufgabe PunktzahlDer Prüfling1berechneth ( 3) h (1)2und interpretiert den berechneten Wert im Sachzusammen-4hang.Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) . .Summe Teilaufgabe b)4Nur für den Dienstgebrauch!erreichtePunktzahl

ZK M HTSeite 11 von 12Teilaufgabe c)Anforderungen123LösungsqualitätDer PrüflingmaximalerreichbarePunktzahlgibt h ' ( t ) an.2ermittelt mit einer notwendigen Bedingung die möglichen lokalen Extremstellen derFunktion h.ermittelt rechnerisch den niedrigsten und höchsten Wasserstand im betrachtetenZeitraum.erreichtePunktzahl25Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (9) . .Summe Teilaufgabe c)9Teilaufgabe PunktzahlDer Prüfling1bestimmt rechnerisch, wie lange der Wasserstand im betrachteten Zeitraum zwischen 140 cm und 150 cm lag.erreichtePunktzahl4Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) . .Summe Teilaufgabe d)4Teilaufgabe PunktzahlDer Prüflingskizziert, passend zu der in Abbildung 4 gegebenen momentanen Änderungsrate, in1Abbildung 3 den weiteren Verlauf des Wasserstandes bis zum 28.10.2016,412:00 Uhr.Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) . .Summe Teilaufgabe e)4Summe Aufgabe 424Nur für den Dienstgebrauch!erreichtePunktzahl

ZK M HTSeite 12 von 12Festlegung der zahlÜbertrag der Punktsumme aus der ersten Aufgabe6Übertrag der Punktsumme aus der zweiten Aufgabe6Übertrag der Punktsumme aus der dritten Aufgabe24Übertrag der Punktsumme aus der vierten Aufgabe24Gesamtpunktzahl60NoteUnterschrift, DatumGrundsätze für die Bewertung (Notenfindung)Für die Zuordnung der Noten zu den Punktsummen ist folgende Tabelle zu verwenden:NoteErreichte Punktsummensehr gut52 – 60gut43 – 51befriedigend34 – 42ausreichend25 – 33mangelhaft13 – 24ungenügend0 – 12Nur für den Dienstgebrauch!erreichtePunktzahl

ZK M NTPrüfungsteil ASeite 1 von 2Name:Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase2018MathematikPrüfungsteil A: Aufgaben ohne HilfsmittelAufgabe 1:Gegeben ist die Ableitungsfunktion f ' mit der Gleichungf ' ( x ) x2 2 x 8, x IR .a) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion.(3 Punkte)b) Die Abbildung zeigt den Graphen von.Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer möglichen Ausgangsfunktion f.f ' ( x)f'xAbbildung(3 Punkte)Nur für den Dienstgebrauch!

ZK M NTPrüfungsteil ASeite 2 von 2Name:Aufgabe 2:Beim Glücksspiel „3 gewinnt“ wird ein Glücksrad mit dreigleich großen Feldern (siehe Abbildung) höchstens zweimal gedreht. Der Einsatz für das Spiel beträgt 2 .Erscheint nach dem ersten Drehen die Zahl „3“, hat mangewonnen und das Spiel ist beendet. Erscheint eine andereZahl, erhält man eine zweite Chance und darf noch einmaldrehen. Erscheint nun die „3“, hat man ebenfalls gewonnen und das Spiel ist endgültig beendet. Erscheint keine„3“, ist das Spiel ebenfalls beendet.AbbildungIn den beiden Fällen, in denen die Zahl „3“ erscheint, erhält man den Einsatz von 2 zurück und bekommt 2 hinzu, ansonsten verliert man seinen Einsatz.a) Erstellen Sie für dieses Zufallsexperiment ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm mitallen Pfadwahrscheinlichkeiten.(2 Punkte)b) Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit.(2 Punkte)c) Ein Spiel ist „fair“, wenn ein Spieler auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust macht.Untersuchen Sie, ob das Spiel „3 gewinnt“ fair ist.(2 Punkte)Hinweis:Ein Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ist zugelassen.Nur für den Dienstgebrauch!

ZK M NTPrüfungsteil BSeite 1 von 6Name:Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase2018MathematikPrüfungsteil B: Aufgaben mit HilfsmittelnAufgabe 3:Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichungf ( x) 1 4 3 2 x x 4, x IR .164Der Graph der Funktion f ist in der folgenden Abbildung 1 dargestellt.f ( x)fxAbbildung 1a) Untersuchen Sie, ob der Punkt A ( 3,5 4) auf dem Graphen von f liegt.Nur für den Dienstgebrauch!(2 Punkte)

ZK M NTPrüfungsteil BSeite 2 von 6Name:b) Untersuchen Sie die Funktion f rechnerisch auf lokale Extremstellen.(7 Punkte)c) s1 ist die Sekante durch den lokalen Hochpunkt H ( 0 4) und den SchnittpunktN1 ( 4 0) des Graphen von f mit der x-Achse. Die Gleichung dieser Sekante ists1 : y x 4 .[Ein Nachweis der Gleichung ist nicht erforderlich.](1) Zeichnen Sie die Sekante s1 in die Abbildung 1 ein.(2) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Sekante s1 zugleich eine Tangente an den Graphenvon f im Punkt P ( 2 f ( 2) ) ist.(3) Die Sekante s1 bildet zusammen mit den Achsen des Koordinatensystems das DreieckOHN1 .Berechnen Sie den Flächeninhalt A1 dieses Dreiecks.(2 3 2 Punkte)d) Gegeben ist die Funktion h mit der Gleichungh ( x ) f ( 2 x ) x4 3 x2 4, x IR .(1) Zeichnen Sie den Graphen von h in die Abbildung 1 ein.(2) Legt man nun wie in Aufgabenteil c) eine Sekante s2 durch H ( 0 4) und denSchnittpunkt N2 des Graphen von h mit der positiven x-Achse, so ergibt sich dasDreieck OHN2 . Der Flächeninhalt dieses Dreiecks wird mit A2 bezeichnet.Ermitteln Sie das VerhältnisA2.A1(3 2 Punkte)Nur für den Dienstgebrauch!

ZK M NTPrüfungsteil BSeite 3 von 6Name:e) In der Abbildung 2 sehen Sie den Graphen einer Funktion G. Der Graph der zugehörigenAbleitungsfunktion g ist durch eine Verschiebung in y-Richtung aus dem Graphen derFunktion f entstanden.G ( x)GxAbbildung 2Geben Sie eine Gleichung von g an.(3 Punkte)Nur für den Dienstgebrauch!

ZK M NTPrüfungsteil BSeite 4 von 6Name:Aufgabe 4:Geschwindigkeitskontrollen – NRW will Strecken-Radar testen„Auf den Straßen Nordrhein-Westfalens soll das sogenannte Strecken-Radar erprobt werden.Dabei wird auf einem Kontrollabschnitt die Zeit an einem Anfangs- und am Endpunkt gemessen und daraus die durchschnittliche Geschwindigkeit von Fahrzeugen ermittelt. Ist derFahrer [im Durchschnitt] zu schnell, wird er geblitzt und der Verstoß geahndet.“ 1Ein Testfahrzeug fährt in den Kontrollabschnitt eines Strecken-Radars ein, in dem eine zulässige Höchstgeschwindigkeit von 120 km/h gilt. Das Fahrzeug durchfährt den gesamten Abschnitt in 0,1 Stunden. Die auf IR definierte Funktion s mits( t ) 10250 t 4 417 t 3 367 t 2 100 twird im Folgenden für 0 t 0,1 zur Modellierung dieser Fahrt verwendet. Dabei gibt t dieZeit in h (Stunden) seit der Einfahrt in den Kontrollabschnitt und s( t ) die bis dahin im Kontrollabschnitt zurückgelegte Strecke in km an.a) (1) Bestimmen Sie die Länge des Kontrollabschnittes (in km), d. h. die vom Fahrzeug imZeitraum von t 0 bis t 0,1 zurückgelegte Strecke.(2) Entscheiden Sie begründet, ob das Fahrzeug am Ende des Kontrollabschnitts geblitztwird.(2 3 Punkte)1Spiegel Online, alen-will-strecken-radar-testen-a1105966.html, letzter Zugriff: 02. November 2017.Nur für den Dienstgebrauch!

ZK M NTPrüfungsteil BSeite 5 von 6Name:Die Momentangeschwindigkeit des Testfahrzeugs in km/h wird für 0 t 0,1 durch die aufIR definierte Funktion v mitv (t ) 41000 t 3 1251 t 2 734 t 100modelliert. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion v.v (t )vtAbbildung 1b) (1) Geben Sie an, welcher mathematische Zusammenhang zwischen den Funktionen s undv besteht.(2) Ermitteln Sie den Zeitraum, in dem bei der Fahrt durch den Kontrollabschnitt dieMomentangeschwindigkeit des Fahrzeugs größer ist als die zulässige Höchstgeschwindigkeit von 120 km/h.(3) Bestimmen Sie rechnerisch die höchste Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs imKontrollabschnitt.(4) Wenn das Fahrzeug zu jedem Zeitpunkt während der Fahrt durch den Kontrollabschnitt um 20 % langsamer fahren würde, dann würde es nicht geblitzt werden.Die Geschwindigkeit einer solchen langsameren Fahrt soll durch die Funktion vneumodelliert werden.Geben Sie eine Gleichung der Funktion vneu an.(2 3 8 2 Punkte)Nur für den Dienstgebrauch!

ZK M NTPrüfungsteil BSeite 6 von 6Name:c) In den folgenden beiden Abbildungen 2 und 3 sind für eine andere Fahrt des Testfahrzeuges die zurückgelegte Strecke und die Momentangeschwindigkeit beim Durchfahren desKontrollabschnitts dargestellt.Strecke in kmZeit in StundenAbbildung 2Momentangeschwindigkeit in km/hZeit in StundenAbbildung 3Begründen Sie anhand der Abbildungen, dass die folgende Aussage zutrifft:Obwohl ein Fahrzeug im Kontrollabschnitt die zulässige Höchstgeschwindigkeit überschritten hat, ist es dennoch möglich, dass das Fahrzeug am Ende des Kontrollabschnittsnicht geblitzt wird.(4 Punkte)Zugelassene Hilfsmittel: GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computer-Algebra-System) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen RechtschreibungNur für den Dienstgebrauch!

ZK M NTSeite 1 von 14Unterlagen für die LehrkraftZentrale Klausur am Ende der Einführungsphase2018Mathematik1.Aufgabenart / InhaltsbereichPrüfungsteil A: Aufgaben ohne HilfsmittelAufgabe 1: AnalysisAufgabe 2: StochastikPrüfungsteil B: Aufgaben mit HilfsmittelnAufgabe 3: Analysis (Innermathematische Argumentationsaufgabe)Aufgabe 4: Analysis (Aufgabe mit realitätsnahem Kontext)2.Aufgabenstellung1siehe Prüfungsaufgaben3.Materialgrundlageentfällt1Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab.Nur für den Dienstgebrauch!

ZK M NTSeite 2 von 144.Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2018Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu Kompetenzbereichen und Inhaltsfeldern des Kernlehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgendenwird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen.Inhaltsfelder und inhaltliche SchwerpunktePrüfungsteil A: Aufgaben ohne HilfsmittelInhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen Grundverständnis des Ableitungsbegriffs Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen(Untersuchung ganzrationaler Funktionen bis zum Grad drei)Inhaltsfeld Stochastik (S) Mehrstufige Zufallsexperimente Bedingte WahrscheinlichkeitenPrüfungsteil B: Aufgaben mit HilfsmittelnInhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Grundverständnis des Ableitungsbegriffs Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen5.Zugelassene HilfsmittelPrüfungsteil A: Wörterbuch zur deutschen RechtschreibungPrüfungsteil B: GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computeralgebrasystem) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung6.Vorgaben für die Bewertung der SchülerleistungenDie jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mitdem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechenderPunktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zurModelllösung“).Nur für den Dienstgebrauch!

ZK M NTSeite 3 von 14Aufgabe 1:Modelllösung a)f ' ( x ) 0 x2 2 x 8 0 x 1 12 8 x 1 12 8 x 2 x 4 .Modelllösung b)f ' ( x) , f ( x)f'fxNur für den Dienstgebrauch!

ZK M NTSeite 4 von 14Aufgabe 2:Modelllösung a)132333231333Modelllösung b)P ( „Gewinn“ ) 1 2 1 5 .3 3 3 9Modelllösung c)Erwartungswert der Auszahlung (ohne Berücksichtigung des Einsatzes):5420 4 0 .99920 pro Spiel ausgezahlt, d. h. ein Spieler erhält auf lange Sicht9mehr zurück als seinen Einsatz von 2 , das Spiel ist also nicht fair.Es werden durchschnittlichOder:Erwartungswert des Gewinns (unter Berücksichtigung des Einsatzes):542 2 ( 2 ) .999Auf lange Sicht gewinnt ein Spieler durchschnittlich2 pro Spiel, das Spiel ist also nicht9fair.Nur für den Dienstgebrauch!

ZK M NTSeite 5 von 14Aufgabe 3:Modelllösung a)975 3,81 .256Der Punkt A ( 3,5 4) liegt daher nicht auf dem Graphen von f .f ( 3,5) Modelllösung b)f ' ( x) 1 3 3 x x.42Aus der notwendigen Bedingung f ' ( x ) 0 für lokale Extremstellen ergeben sich die drei Lösungen x 6 2,45 , x 0 und x6 2,45 .9559 0 , f ' ( 1) 0 , f ' (1) 0 und f ' ( 3 ) 0 liegt an den4444Stellen x 6 und x 6 jeweils ein Vorzeichenwechsel von negativen zu positivenFunktionswerten von f ' und an der Stelle x 0 ein Vorzeichenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von f ' vor.Wegen f ' ( 3) x 6 und x 6 sind daher lokale Minimalstellen der Funktion f , x 0 ist eine lokaleMaximalstelle von f .Modelllösung c)(1)f ( x)fs1xNur für den Dienstgebrauch!

ZK M NTSeite 6 von 14 6 , d. h. an der Stelle x 2 haben die Sekante s1 und der(2) 2 4 6 und f ( 2) Graph von f einen gemeinsamen Punkt.f ' ( 2) 1 , d. h. an der Stelle x 2 haben die Sekante s1 und der Graph von f die gleiche Steigung.Daher ist die Sekante s1 zugleich Tangente an den Graphen von f im PunktP ( 2 f ( 2) ) .(3) A1 1 4 4 8 (FE).2Modelllösung d)(1)f ( x) , h( x)hfs1x(2) Durch die angegebene Veränderung des Funktionsterms bleibt die Lage des Hochpunktsunverändert und damit die Länge einer Kathete des Dreiecks. Die zweite Kathete verkürztA 1sich auf die Hälfte. Somit gilt: 2 .A1 2Modelllösung e)g ( x) f ( x) 4 .Nur für den Dienstgebrauch!

ZK M NTSeite 7 von 14Aufgabe 4:Modelllösung a)(1) s( 0,1) 13,062 .Die Länge des Kontrollabschnitts beträgt 13,062 km.(2) Die Durchschnittsgeschwindigkeit im Kontrollabschnitt beträgt13,062 km 131 km/h0,1hund überschreitet damit die zulässige Höchstgeschwindigkeit von 120 km/h. Das Fahrzeug wird daher am Ende des Kontrollabschnittes geblitzt.Modelllösung b)(1) Die Funktion v ist die Ableitungsfunktion der Funktion s.(2) Die Gleichung v ( t ) 120 hat im Intervall [ 0;0,1] nur eine Lösung t1 mit t1 0,027 .Unter Verwendung des Graphen in Abbildung 1 ergibt sich damit, dass das Fahrzeug imZeitraum von ungefähr 0,027 h bis 0,1 h nach der Einfahrt in den Kontrollabschnit die zulässige Höchstgeschwindigkeit überschreitet.(3) v ' ( t ) 123000 t 2 2502 t 734 .Aus der notwendigen Bedingung v ' ( t ) 0 für lokale Extremstellen ergeben sich die beiden Lösungen t2 und t3 mit t2 0,068 und t3 0,088 .t2 0,068 befindet sich nicht im betrachteten Intervall [ 0;0,1] .Wegen v ' ( 245,8 0 liegt an der Stelle t3 ein Vorzeichen0) 734 0 und v ' ( 0,1) wechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von v ' und damit ein lokales Maximum von v vor.Wegen v ( 0) 100 , v ( t3 ) 146,3 un

Im Zeitraum vom 21.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 23.10.2016, 0:00 Uhr, stieg das Wasser des Rheins am Pegel in Bonn mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von ungefähr 14,8cm pro Tag an.