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Polar-, Kugel-, Zylinderkoordinaten/MehrfachintegraleWozu verschiedene Koordinatensysteme?Ausnutzen der Geometrie zur Vereinfachung der Rechnung

Flächen-/Volumenberechnung durch Integrationy𝐴 1 d𝐴 𝑉 1 d𝑉 1 d𝑥d𝑦𝑏1 d𝑥d𝑦d𝑧Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks:𝑏𝑎 𝑎𝑥A 𝑎1 d𝑦d𝑥 0 0𝑏 2 𝑥2𝑎𝑎01 𝑎 𝑏2𝑦0𝑏𝑥𝑎0𝑎d𝑥 0𝑏𝑥 d𝑥𝑎𝑎 xd𝐴 d𝑥 d𝑦d𝐴-Flächenelement (wiePixel einer Rastergrafik)

Aufgabe 1Berechnen Sie durch Integration die Fläche eines Kreises mitRadius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt!Nutzen Sie dafür a) kartesische Koordinaten? ?𝑦𝐴 1 dyd𝑥? ?𝑅𝑥Hilfestellung:𝑅2 𝑥2d𝑥 𝑥2𝑅2 𝑥2 𝑅2𝑥arcsin2𝑅 𝑐, R 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

Aufgabe 1Berechnen Sie durch Integration die Fläche eines Kreises mitRadius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt!Nutzen Sie dafür a) kartesische Koordinaten𝑦Lösung:𝑅2 𝑥 2𝑅𝑅𝐴 𝑥1 dyd𝑥 𝑅 𝑅2 𝑥 2𝑅2 𝑅2 𝑥 2 𝑑𝑥 𝜋𝑅2 𝑅Hilfestellung:𝑅2 𝑥2d𝑥 𝑥2𝑅2 𝑥2 𝑅2𝑥arcsin2𝑅 𝑐, R 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

Polar-/ZylinderkoordinatenDarstellung des Raumes durch die Koordinaten 𝑟, 𝜑(und 𝑧)y𝑒𝜑𝑒𝑟rφxz zφrxBeziehung zum kartesischen Koordinatensystem:𝑥 𝑟 cos 𝜑𝑦 𝑟 sin 𝜑(𝑧 𝑧)y

Flächenelement in Polarkoordinaten.d𝐴 𝑟d𝜑 d𝑟𝑎𝑑𝜑r𝑟φ𝑏 d𝑟𝑑𝐴 𝑎 𝑏𝑟 – Funktionaldeterminanteder Jakobi-Matrix Mathe-Vorlesung𝑎sin d𝜑 𝑎 𝑟d𝜑𝑟(sin 𝜑 𝜑, wenn 𝜑 sehr klein)Für das Volumenelement in Zylinderkoordinaten gilt demnach:d𝑉 𝑟d𝜑 d𝑟 d𝑧

Aufgabe 2Berechnen Sie durch Integration die Fläche eines Kreises mitRadius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt!Nutzen Sie dafür a) Polarkoordinaten? ?𝐴 rφ1 𝑟 d𝑟d𝜑? ?𝑅Zusatz: Berechnen Sie das Volumen eines Zylinders mit derGrundfläche des Kreises und der Höhe h durch Integration

Aufgabe 2Berechnen Sie durch Integration die Fläche eines Kreises mitRadius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt!Nutzen Sie dafür2𝜋 𝑅 a) PolarkoordinatenLösung:𝐴 1 𝑟 d𝑟d𝜑0 02𝜋rφ 0𝑅1 2𝑅 d𝜑 𝜋𝑅22ℎ 2𝜋 𝑅Zusatz:𝑉 1 𝑟 d𝑟d𝜑d𝑧0 0ℎ0𝜋𝑅2 d𝑧 𝜋𝑅2 ℎ 0

KugelkoordinatenDarstellung desRaumes durch dieKoordinaten 𝑟, 𝜑und 𝜃Beziehung zu denkartesischenKoordinaten:𝑥 𝑟 cos 𝜑 sin 𝜃𝑦 𝑟 sin 𝜑 sin 𝜃𝑧 𝑟 cos 𝜃

Volumenelement in Kugelkoordinaten.𝐴 𝑎 𝑏 𝑟 2 sin 𝜃 d𝜃d𝜑𝑏𝑑𝜃𝑑𝑉 𝐴 d𝑟 𝑟 2 sin 𝜃 d𝜃d𝜑d𝑟𝑟𝑏 𝑟 d𝜃.𝑎𝑑𝜑𝑟 sin 𝜃𝑎 𝑟 sin 𝜃 d𝜑

Aufgabe 3a.Berechnen Sie durch Integration die Masse 𝑀 einer Kugel mit dem Radius𝑅 und einer Dichte, die wie folgt vom Radius abhängt:𝜌 𝑟 𝜌0 𝑟Ansatz:𝑚 𝜌 d𝑉Volumenelement:𝑑𝑉 𝑟 2 sin 𝜃 d𝜃d𝜑d𝑟

Lösung zu Aufgabe 3𝑚 Ansatz:𝜌 d𝑉𝜋 2𝜋 𝑅𝜋 2𝜋𝑟 𝑟 2 sin 𝜃 d𝑟d𝜑d𝜃 𝜌0𝐽 𝜌00 0𝜋 2𝜋𝜌000𝑅4sin 𝜃 d𝜃 2𝜋𝜌04𝑅4 2𝜋𝜌0 𝜋𝜌0 𝑅42𝜋00 0𝑅4sin 𝜃 d𝜑d𝜃4𝑅4𝜋𝜌𝑅4sin 𝜃 d 𝜃 cos 𝜃42𝜋0

Weitere Aufgaben:Berechnen Sie das Trägheitsmoment:a. einer Punktmasse mit Masse m im Abstand r von derDrehachse,b. eines dünnen, homogenen Kreisrings mit Radius r undMasse m, der senkrecht zur Drehachse und dessenMittelpunkt auf der Drehachse liegt undc. eines Vollzylinders mit Radius R und homogenerMassenverteilung, der um seine Symmetrieachserotiert mit Hilfe von Zylinderkoordinaten!

Übersicht chnung inkartesische KoordinatenDeterminante derJakobiMatrix𝑥, 𝑦, 𝑧--d𝐴1 d𝑥 d𝑦d𝐴2 d𝑦 d𝑧d𝐴3 d𝑥 d𝑧d𝑉 d𝑥 d𝑦 d𝑧𝑟, 𝜑𝑥 𝑟 cos 𝜑𝑦 𝑟 sin 𝜑𝑟𝑑𝐴 𝑟 d𝜑d𝑟zylindrisch𝑟, 𝜑, 𝑧𝑥 𝑟 cos 𝜑𝑦 𝑟 sin 𝜑𝑧 𝑧𝑟d𝐴Fläche 𝑟 d𝜑d𝑟d𝐴Mantel 𝑟 d𝜑d𝑧d𝑉 𝑟 d𝜑d𝑟d𝑧sphärisch𝑟, 𝜑, 𝜃𝑥 𝑟 cos 𝜑 sin 𝜃𝑦 𝑟 sin 𝜑 sin 𝜃𝑧 𝑟 cos 𝜃𝑟 2 sin 𝜃d𝑉 𝑟 2 sin 𝜃 d𝑟d𝜑d𝜃d𝐴O 𝑟 2 sin 𝜃 ment

Berechnen Sie das Trägheitsmoment: a. einer Punktmasse mit Masse m im Abstand r von der Drehachse, b. eines dünnen, homogenen Kreisrings mit Radius r und Masse m, der senkrecht zur Drehachse und dessen Mittelpunkt auf der Drehachse liegt und c. eines Vollzylinders mit Radius R und homogener Massenverteilung, der um seine Symmetrieachse