Transcription

Polar-, Kugel-, Zylinderkoordinaten/MehrfachintegraleWozu verschiedene Koordinatensysteme?Ausnutzen der Geometrie zur Vereinfachung der Rechnung

FlΓ€chen-/Volumenberechnung durch Integrationy𝐴 1 d𝐴 𝑉 1 d𝑉 1 dπ‘₯d𝑦𝑏1 dπ‘₯d𝑦d𝑧FlΓ€che eines rechtwinkligen Dreiecks:π‘π‘Ž π‘Žπ‘₯A π‘Ž1 d𝑦dπ‘₯ 0 0𝑏 2 π‘₯2π‘Žπ‘Ž01 π‘Ž 𝑏2𝑦0𝑏π‘₯π‘Ž0π‘Ždπ‘₯ 0𝑏π‘₯ dπ‘₯π‘Žπ‘Ž xd𝐴 dπ‘₯ d𝑦d𝐴-FlΓ€chenelement (wiePixel einer Rastergrafik)

Aufgabe 1Berechnen Sie durch Integration die FlΓ€che eines Kreises mitRadius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt!Nutzen Sie dafΓΌr a) kartesische Koordinaten? ?𝑦𝐴 1 dydπ‘₯? ?𝑅π‘₯Hilfestellung:𝑅2 π‘₯2dπ‘₯ π‘₯2𝑅2 π‘₯2 𝑅2π‘₯arcsin2𝑅 𝑐, R π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘.

Aufgabe 1Berechnen Sie durch Integration die FlΓ€che eines Kreises mitRadius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt!Nutzen Sie dafΓΌr a) kartesische Koordinaten𝑦LΓΆsung:𝑅2 π‘₯ 2𝑅𝑅𝐴 π‘₯1 dydπ‘₯ 𝑅 𝑅2 π‘₯ 2𝑅2 𝑅2 π‘₯ 2 𝑑π‘₯ πœ‹π‘…2 𝑅Hilfestellung:𝑅2 π‘₯2dπ‘₯ π‘₯2𝑅2 π‘₯2 𝑅2π‘₯arcsin2𝑅 𝑐, R π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘.

Polar-/ZylinderkoordinatenDarstellung des Raumes durch die Koordinaten π‘Ÿ, πœ‘(und 𝑧)yπ‘’πœ‘π‘’π‘ŸrΟ†xz zΟ†rxBeziehung zum kartesischen Koordinatensystem:π‘₯ π‘Ÿ cos πœ‘π‘¦ π‘Ÿ sin πœ‘(𝑧 𝑧)y

FlΓ€chenelement in Polarkoordinaten.d𝐴 π‘Ÿdπœ‘ dπ‘Ÿπ‘Žπ‘‘πœ‘rπ‘ŸΟ†π‘ dπ‘Ÿπ‘‘π΄ π‘Ž π‘π‘Ÿ – Funktionaldeterminanteder Jakobi-Matrix Mathe-Vorlesungπ‘Žsin dπœ‘ π‘Ž π‘Ÿdπœ‘π‘Ÿ(sin πœ‘ πœ‘, wenn πœ‘ sehr klein)FΓΌr das Volumenelement in Zylinderkoordinaten gilt demnach:d𝑉 π‘Ÿdπœ‘ dπ‘Ÿ d𝑧

Aufgabe 2Berechnen Sie durch Integration die FlΓ€che eines Kreises mitRadius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt!Nutzen Sie dafΓΌr a) Polarkoordinaten? ?𝐴 rΟ†1 π‘Ÿ dπ‘Ÿdπœ‘? ?𝑅Zusatz: Berechnen Sie das Volumen eines Zylinders mit derGrundflΓ€che des Kreises und der HΓΆhe h durch Integration

Aufgabe 2Berechnen Sie durch Integration die FlΓ€che eines Kreises mitRadius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt!Nutzen Sie dafΓΌr2πœ‹ 𝑅 a) PolarkoordinatenLΓΆsung:𝐴 1 π‘Ÿ dπ‘Ÿdπœ‘0 02πœ‹rΟ† 0𝑅1 2𝑅 dπœ‘ πœ‹π‘…22β„Ž 2πœ‹ 𝑅Zusatz:𝑉 1 π‘Ÿ dπ‘Ÿdπœ‘d𝑧0 0β„Ž0πœ‹π‘…2 d𝑧 πœ‹π‘…2 β„Ž 0

KugelkoordinatenDarstellung desRaumes durch dieKoordinaten π‘Ÿ, πœ‘und πœƒBeziehung zu denkartesischenKoordinaten:π‘₯ π‘Ÿ cos πœ‘ sin πœƒπ‘¦ π‘Ÿ sin πœ‘ sin πœƒπ‘§ π‘Ÿ cos πœƒ

Volumenelement in Kugelkoordinaten.𝐴 π‘Ž 𝑏 π‘Ÿ 2 sin πœƒ dπœƒdπœ‘π‘π‘‘πœƒπ‘‘π‘‰ 𝐴 dπ‘Ÿ π‘Ÿ 2 sin πœƒ dπœƒdπœ‘dπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘ π‘Ÿ dπœƒ.π‘Žπ‘‘πœ‘π‘Ÿ sin πœƒπ‘Ž π‘Ÿ sin πœƒ dπœ‘

Aufgabe 3a.Berechnen Sie durch Integration die Masse 𝑀 einer Kugel mit dem Radius𝑅 und einer Dichte, die wie folgt vom Radius abhΓ€ngt:𝜌 π‘Ÿ 𝜌0 π‘ŸAnsatz:π‘š 𝜌 d𝑉Volumenelement:𝑑𝑉 π‘Ÿ 2 sin πœƒ dπœƒdπœ‘dπ‘Ÿ

LΓΆsung zu Aufgabe 3π‘š Ansatz:𝜌 dπ‘‰πœ‹ 2πœ‹ π‘…πœ‹ 2πœ‹π‘Ÿ π‘Ÿ 2 sin πœƒ dπ‘Ÿdπœ‘dπœƒ 𝜌0𝐽 𝜌00 0πœ‹ 2πœ‹πœŒ000𝑅4sin πœƒ dπœƒ 2πœ‹πœŒ04𝑅4 2πœ‹πœŒ0 πœ‹πœŒ0 𝑅42πœ‹00 0𝑅4sin πœƒ dπœ‘dπœƒ4𝑅4πœ‹πœŒπ‘…4sin πœƒ d πœƒ cos πœƒ42πœ‹0

Weitere Aufgaben:Berechnen Sie das TrΓ€gheitsmoment:a. einer Punktmasse mit Masse m im Abstand r von derDrehachse,b. eines dΓΌnnen, homogenen Kreisrings mit Radius r undMasse m, der senkrecht zur Drehachse und dessenMittelpunkt auf der Drehachse liegt undc. eines Vollzylinders mit Radius R und homogenerMassenverteilung, der um seine Symmetrieachserotiert mit Hilfe von Zylinderkoordinaten!

Übersicht chnung inkartesische KoordinatenDeterminante derJakobiMatrixπ‘₯, 𝑦, 𝑧--d𝐴1 dπ‘₯ d𝑦d𝐴2 d𝑦 d𝑧d𝐴3 dπ‘₯ d𝑧d𝑉 dπ‘₯ d𝑦 dπ‘§π‘Ÿ, πœ‘π‘₯ π‘Ÿ cos πœ‘π‘¦ π‘Ÿ sin πœ‘π‘Ÿπ‘‘π΄ π‘Ÿ dπœ‘dπ‘Ÿzylindrischπ‘Ÿ, πœ‘, 𝑧π‘₯ π‘Ÿ cos πœ‘π‘¦ π‘Ÿ sin πœ‘π‘§ π‘§π‘Ÿd𝐴FlΓ€che π‘Ÿ dπœ‘dπ‘Ÿd𝐴Mantel π‘Ÿ dπœ‘d𝑧d𝑉 π‘Ÿ dπœ‘dπ‘Ÿd𝑧sphΓ€rischπ‘Ÿ, πœ‘, πœƒπ‘₯ π‘Ÿ cos πœ‘ sin πœƒπ‘¦ π‘Ÿ sin πœ‘ sin πœƒπ‘§ π‘Ÿ cos πœƒπ‘Ÿ 2 sin πœƒd𝑉 π‘Ÿ 2 sin πœƒ dπ‘Ÿdπœ‘dπœƒd𝐴O π‘Ÿ 2 sin πœƒ ment

Berechnen Sie das TrΓ€gheitsmoment: a. einer Punktmasse mit Masse m im Abstand r von der Drehachse, b. eines dΓΌnnen, homogenen Kreisrings mit Radius r und Masse m, der senkrecht zur Drehachse und dessen Mittelpunkt auf der Drehachse liegt und c. eines Vollzylinders mit Radius R und homogener Massenverteilung, der um seine Symmetrieachse