Transcription

Aplikasi Kombinatorial dan Peluang Diskrit dalam PermainanDadu Cee-LoHendy - 13507011Jurusan Teknik Informatika, ITB, Bandung 40116, email: [email protected] – Makalah ini membahas mengenai peluangpeluang munculnya kombinasi dari tiga buah dadubersisi enam dalam permainan dadu Cee-Lo. Teoriyang akan digunakan untuk membahasnya adalahteori kombinatorial dan peluang diskrit.Akan sangat banyak jumlah objek yang dicacah satupersatu. Demikian juga dalam permainan Cee-Lo, bilakita mencacah satu persatu kemungkinan mata daduyang muncul, akan sangat banyak sekali objek yangada.Kombinatorial adalah salah satu cabang matematikayang mempelajari pengaturan objek-objek. Solusiyang ingin kita peroleh dengan kombinatorial iniadalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentudi dalam himpunannya. Bila dikaitkan denganpembahasan dalam makalah ini, kita dapatmemperhitungkan kemungkinan apa saja yang dapatmuncul saat melempar tiga buah dadu secarabersamaan dan mengetahui berapa besar peluangmunculnya suatu kombinasi dadu tersebut.2. TEORI KOMBINATORIAL [1]Kata Kunci: Cee-Lo, dadu, peluang, kombinasi,kombinatorial.1. PENDAHULUAN [1]Teori Kombinatorial merupakan bahasan strukturdiskrit yang telah dikenal sejak dulu, telahberkembang dan aplikasinya banyak digunakan dihampir segala bidang.Salah satu contoh permasalahan yang solusinyamemerlukan kombinatorial adalah menghitungbanyaknya kombinasi kata sandi (password) yangterdiri dari 3 karakter angka dan huruf kapital. Carapaling sederhana adalah dengan mencacah /mengenumerasi satu persatu kemungkinan yang ada.Namun cara ini hanya efektif untuk jumlah objek yangsedikit, untuk permasalahan dengan jumlah objekyang besar, cara ini akan sangat membuang waktu danenergi, oleh karena itu teori kombinatorial sangatbermanfaat untuk memecahkan masalah ini.Dengan menggunakan metode enumerasi, kita akanmencacah seperti berikut :000001012.HL8HL9HK0.ZZYZZZKombinatorial adalah cabang matematika untukmenghitung jumlah penyusunan objek-objek 2.1 Kaidah Dasar Menghitung1. Kaidah Perkalian (rule of product)Misalkan percobaan 1 mempunyai p hasilpercobaan, dan percobaan 2 mempunyai q hasil,maka bila percobaan 1 dan percobaan 2dilakukan kan terdapat p q hasil percobaan.2.Kaidah Penjumlahan (rule of sum)Misalkan percobaan 1 mempunyai p hasilpercobaan, dan percobaan 2 mempunyai q hasil,maka bila percobaan 1 atau percobaan 2dilakukan (hanya salah satu percobaan saja yangdilakukan) akan terdapat p q hasil percobaan.2.2 PermutasiPermutasi adalah jumlah urutan yang berbeda daripengaturan objek-objek. Permutasi merupakan bentukkhusus aplikasi kaidah perkalian.Misalkan jumlah objek adalah n, maka :urutan pertama dipilih dari n objek,urutan kedua dipilih dari (n – 1) objek,urutan kedua dipilih dari (n – 2) objek, urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa.Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objekadalahn(n – 1)(n – 2) (2)(1) n!Rumus permutasi-r (jumlah susunan berbeda daripemilihan r objek yang diambil dari n objek),dilambangkan dengan P(n,r):𝑃 𝑛, 𝑟 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 𝑟 1 𝑛!𝑛 𝑟 !

2.3 KombinasiBentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jikapada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan,maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.Rumus kombinasi-r (jumlah pemilihan yang tidakterurut r elemen yang diambil dari n buah elemen),dilambangkan dengan C(n,r) atau 𝑛𝑟 .𝑛!𝐶 𝑛, 𝑟 𝑟! 𝑛 𝑟 !Interpretasi Kombinasi1. C(n, r) banyaknya himpunan bagian yang terdiriatas r elemen yang dapat dibentuk dari himpunandengan n elemen2. C(n, r) cara memilih r buah elemen dari nelemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalamsusunan hasil pemilihan tidak penting.Permutasi dan Kombinasi Bentuk UmumMisalkan terdapat n buah bola yang tidak seluruhnyaberbeda warna (ada beberapa bola berwarna sama –indistinguishable)n1 bola di antaranya berwarna 1,n2 bola di antaranya berwarna 2, nk bola di antaranya berwarna k,dan n1 n2 nk n.Berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalamkotak-kotak tersebut (tiap kotak maksimal 1 buahbola)?Penyelesaian:Jika n buah bola itu kita anggap berbeda semuanya,maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam nbuah kotak adalahP(n, n) n!Dari pengaturan n buah bola itu,Terdapat n1! cara memasukkan bola berwarna 1,terdapat n2! cara memasukkan bola berwarna 2, terdapat nk! cara memasukkan bola berwarna k.Permutasi n buah bola yang mana n1 di antaranyaberwarna 1, n2 bola berwarna 2, , nk bola berwarnak adalah𝑃(𝑛, 𝑛)𝑃 𝑛; 𝑛1 , 𝑛2 , , 𝑛𝑘 𝑛1 ! 𝑛2 ! 𝑛𝑘 !Cara penyelesaian lain:Terdapat C(n, n1) cara untuk menempatkan n1 buahbola yang berwarna 1,terdapat C(n – n1, n2) cara untuk menempatkan n1buah bola yang berwarna 2,terdapat C(n – n1 – n2, n3) cara untuk menempatkann1 buah bola yang berwarna 3, terdapat 𝐶(𝑛 𝑛1 𝑛2 𝑛𝑘 1 𝑛𝑘 ) cara untukmenempatkan 𝑛𝑘 buah bola yang berwarna k.Jumlah cara pengaturan seluruh bola ke dalam kotakadalah𝐶 𝑛; 𝑛1 , 𝑛2 , , 𝑛𝑘 𝐶 𝑛, 𝑛1 𝐶 𝑛 𝑛1 , 𝑛2𝐶 𝑛 𝑛1 𝑛2 , 𝑛3 𝐶(𝑛 𝑛1 𝑛2 𝑛𝑘 1 𝑛𝑘) 𝑛!𝑛 𝑛 1 !𝑛! 𝑛 𝑛 1 ! 𝑛 2 ! 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 !𝑛 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 𝑘 1 ! 𝑛 𝑘 !(𝑛 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 𝑘 1 𝑛 𝑘)!𝑛!𝑛 1 !𝑛 2! 𝑛 3 ! 𝑛 𝑘 !Kesimpulan:𝑃 𝑛; 𝑛1 , 𝑛2 , , 𝑛𝑘 𝐶 𝑛; 𝑛1 , 𝑛2 , , 𝑛𝑘𝑛! 𝑛 1 !𝑛 2 !𝑛 3 ! 𝑛 𝑘 !Kombinasi dengan PengulanganMisalkan terdapat r buah bola yang semua warnanyasama dan terdapat n buah kotak, serta ketentuansebagai berikut:1. Masing-masing kotak hanya boleh diisi palingbanyak satu buah bola.Jumlah cara memasukkan bola adalah C(n, r).2. Masing-masing kotak boleh diisi lebih dari satubuah bola (tidak ada pembatasan jumlah bola).Jumlah cara memasukkan bola adalah𝐶 𝑛 𝑟 1, 𝑟 𝐶(𝑛 𝑟 1, 𝑛 1)3. TEORI PELUANG [1]Kombinatorial dan teori peluang (probability)berkaitan sangat erat. Teori peluang banyakmenggunakan konsep-konsep dalam kombinatorial.Sebenarnya kedua bidang ini lahir dari arena judi(gambling games) – salah satu kasusnya adalahmenghitung peluang munculnya nomor lotre.Meskipun begitu, aplikasi kombinatorial dan teoripeluang saat ini telah meluas ke berbagai bidang ilmulain maupun dalam kehidupan nyata seperti ilmu laindan dalam kehidupan sehari-hari.Terminologi DasarBerikut akan diberikan beberapa terminologi dasarpenting mengenai teori peluang yang akan banyakdigunakan dalam makalah ini.A. Ruang Contoh (sample space)Ruang Contoh dari suatu percobaan adalahhimpunan semua kemungkinan hasil percobaanyang bersangkutan.B. Titik Contoh (sample point)Titik Contoh adalah setiap hasil percobaan didalam ruang contoh.Hasil-hasil percobaan tersebut bersifat salingterpisah (mutually exclusive) karena dari seluruhruang contoh, hanya satu titik contoh yang muncul.

Misalnya pada percobaan melempar dadu, hasilpercobaan yang muncul hanya salah satu dari 6muka dadu, tidak mungkin muncul dua muka ataulebih, atau tidak mungkin salah satu dari enammuka dadu tidak ada yang muncul.C. Ruang Contoh Diskrit (discrete sample space)Ruang Contoh Diskrit adalah ruang contoh yangjumlah anggotanya terbatas.Misalkan ruang contoh dilambangkan dengan Sdan titik-titik contohnya dilambangkan dengan x1,x2, , makaS { x1, x2, , xi, }Menyatakan ruang contoh S yang terdiri atas titiktitik contoh x1, x2, , xi, dan seterusnya.D. Peluang DiskritPeluang Diskrit adalah peluang terjadinya sebuahtitik contoh, dan disimbolkan dengan p(xi).Sifat-sifat peluang diskrit adalah sebagai berikut:1. 0 p(xi) 1, yaitu nilai peluang tidak negatifdan selalu lebih kecil atau sama dengan 1.𝑠2. Σ𝑖 1𝑝 𝑥𝑖 1, yaitu jumlah peluang semuatitik contoh di dalam ruang contoh S adalah 1.E. Kejadian (event)Kejadian –disimbolkan denganhimpunan bagian dari ruang contoh.E–adalahMisalnya pada percobaan melempar dadu kejadianmunculnya angka ganjil adalah E {1,3,5}kejadian munculnya angka 1 adalah E {1}.Kejadian yang hanya mengandung satu titikcontoh disebut kejadian sederhana (simple event),sedangkan kejadian yang mengandung lebih darisatu titik contoh disebut kejadian majemuk(compound event).F. Peluang KejadianPeluang Kejadian E di dalam ruang contoh S dapatdiartikan sebagai jumlah peluang semua titikcontoh di dalam E. Jadi, kita dapat menuliskanbahwa𝐸𝑝 𝐸 Σ𝑥𝑖 𝜖𝐸 𝑝 𝑥𝑖1𝑆Contoh:Dua buah dadu dilemparkan. Berapa peluangmunculnya angka-angka dadu yang jumlahnya samadengan 8?Penyelesaian:Jumlah hasil percobaan yang muncul adalah (denganmenggunakan kaidah perkalian)6 6 36Ruang contohnya adalahS {(1,1), (1,2), , (1,6), (2,1), (2,2), , (2,6), ,(6,1), (6,2), , (6,6)}, semuanya ada 36 elemen.Kejadian munculnya jumlah angka dadu sama dengan8 adalah E {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}, ada 5elemen.Peluang munculnya jumlah angka sama dengan 8adalah 5/36.4. CEE-LO [2]4.1 Cee-Lo dan KombinatorialTeori kombinatorial dan peluang yangberkembang sampai sekarang ini, asal mulanyadigunakan dalam permainan judi sejak dahulukala. Para pemain judi dapat memperhitungkanberapa peluang dia mendapatkan poin yang bagussehingga dapat memenangkan permainan juditersebut. Salah satu permainan judi tersebutadalah permainan dadu Cee-Lo, permainan CeeLo adalah permainan dadu yang sangat l dan peluang.4.2 Penjelasan Singkat mengenai permainan CeeLoAda referensi yang mengatakan bahwa permainanCee-Lo ini berasal dari Cina, namun ada pulayang mengatakan permainan ini merupakanpermainan tradisional dari Jepang.Cee-Lo adalah permainan yang menggunakan tigabuah dadu bersisi enam. Cee-Lo dimainkan oleh 2orang atau lebih dan biasanya menggunakantaruhan.4.3 Cara Bermain Cee-LoPertama-tama, setiap pemain memasang taruhanyang besarnya ditentukan secara bersama,kemudian pemain melempar tiga buah dadubersamaan, hasil kombinasi ketiga dadu dicatatdan dibandingkan dengan lemparan pemain lain.4.4 Kombinasi Kemunculan DaduDaftar kombinasi kemunculan dadu, mulai dariskor paling tinggi sampai skor yang palingrendah.a. 4-5-6Memiliki skor yang paling tinggi.b. “Trips”Bila ketiga dadu bernilai sama. Trips yanglebih tinggi mengalahkan trips yang lebihrendah. Jadi 5-5-5 mengalahkan 4-4-4.c. “Point”Bila dua buah dadu bernilai sama, dan yangsatunya lagi berbeda, maka dadu yang bedasendiri itu adalah besar “poin” nya. Poin yanglebih tinggi mengalahkan poin yang lebih kecil,

contohnya 1-1-5 lebih tinggi dari 6-6-3.d. 1-2-3Memiliki skor yang paling rendah.e. Lain-lainBila kombinasi ketiga dadu tidak merupakansalah satu kombinasi di atas, maka pemainharus melempar ulang ketiga dadu sampaimuncul salah satu kombinasi di atas.4.5 Peraturan Permainan Cee-Loa. Pemain yang mendapatkan skor yang palingtinggi memenangkan taruhan.b. Bila ada dua pemain atau lebih yangmendapatkan skor yang sama dan tertinggi,maka akan dilakukan lemparan ulang hanyaoleh pemain yang mendapatkan skor yangsama tadi dengan menambahkan jumlahtaruhan.c. Bila ada pemain yang lima kali berturut-turuttidak memperoleh salah satu kombinasi dadu,maka dia langsung dianggap kalah.4.6 Peluang Setiap Kombinasi dalam Cee-LoPertama-tama kita akan menghitung ada berapakemungkinan yang muncul bila kita melempartiga buah dadu secara bersamaan. Karena urutantidak diperhatikan dan diperbolehkan adanyapengulangan, kita akan menggunakan kombinasiberulang.r 6 (dari jumlah sisi dadu)n 3 (dari jumlah dadu)Jumlah cara yang mungkin terbentuk darilemparan tiga buah dadu tanpa memperhatikanurutan yakni :a. 4-5-612456Hanya ada 1 cara untuk memenuhi kombinasiini. Jadi peluang mendapatkan kombinasi 4-5-6adalah :𝑝 𝐸 Contoh : 2-4-61425𝐸1 1,78 %𝑆56b. “Trips”142356Ada 6 buah cara (di masing-masing keranjang)untuk memenuhi kombinasi trips. Jadi peluangmendapatkan kombinasi trips adalah :𝑝 𝐸 𝐶 𝑛 𝑟 1, 𝑟 𝐶 6 3 1,3 𝐶 8,3 56Untuk mempermudah, kita bisa ikan jumlah dadu (n) dan keranjangmerepresentasikan jumlah sisi dadu (r)3𝐸6 10,71 %𝑆56c. ”Point”12345636Setelah itu, kita akan menghitung besar peluangdari masing-masing kombinasi yang ada :Untuk setiap sepasang bola (merah) dalam satukeranjang, ada 5 cara bola biru menempatikeranjang lainnya. Jumlah cara sepasang bolamerah menempati keranjang adalah 6 cara (6buah keranjang). Jadi total cara memenuhikombinasi Point ada 6x5 30 cara dan peluanguntuk mendapatkannya adalah :𝑝 𝐸 𝐸30 53,57 %𝑆56

d. 1-2-35. HASIL DAN PEMBAHASANBerikut ini adalah data dari percobaan yang telahdilakukan sebanyak 100 kali.14253Tabel 2 : Data percobaan6Sama seperti kombinasi 4-5-6, hanya ada 1cara untuk memperoleh kombinasi 1-2-3. Jadipeluangnya juga sama, yaitu :𝑝 𝐸 𝐸1 1,78 %𝑆56e. Lain-lainPeluang untuk mendapatkan kombinasi lainlain selain kombinasi di atas adalah :16 30 1181 32,14 %56 56 56 5656Tabel 1 : Kombinasi dan luang1,78 %10,71 %53,57 %1,78 %32,14 ah119-214-304-403-515-6113-Total6438349100Dapat dilihat dari data di atas hasil percobaan yangdiperoleh hanya sedikit menyimpang dari perhitungansebelumnya. Hal ini dikarenakan pengambilan sampelyang terlalu sedikit. Dengan penambahan jumlahpengambilan sampel, maka data yang diperoleh akansemakin mendekati hasil perhitungan sebelumnya.5. KESIMPULANBeberapa kesimpulan yang dapat ditarik :a. Dengan teori kombinatorial dan peluang diskrit,kita dapat mengetahui secara matematis besarpeluang masing-masing kombinasi dari permainandadu Cee-Lo. Tidak hanya itu, hampir setiappermainan dadu dan kartu lainnya jugamenggunakan teori kombinatorial dan peluangdiskrit.b. Tidak seperti permainan lain, dalam Cee-Lo yangmenjadi pemenang bukanlah yang mendapatkankombinasi yang memiliki peluang terkecil.Peluang memperoleh 1-2-3 (kombinasi terburuk)dan peluang untuk memperoleh 4-5-6 (kombinasiterbaik) sama besar.DAFTAR REFERENSILain-lain"Trips""4-5-6""1-2-3"Gambar 1. Grafik kombinasi dan peluangnya[1] Munir, Rinaldi, Diktat Kuliah IF2153,Matematika Diskrit, Edisi Ketiga, Program StudiTeknik Informatika, STEI, ITB, 2005.[2] Wikipediahttp://en.wikipedia.org/wiki/Cee-lo (dice game)Tanggal akses : 1 Januari 2009, pukul 1.50 WIB[3] nce/flash/dice.htmlTanggal akses : 3 Januari 2009, pukul 17.30 WIB

Abstract – Makalah ini membahas mengenai peluang- . yang besar, cara ini akan sangat membuang waktu dan energi, oleh karena itu teori kombinatorial sangat bermanfaat untuk memecahkan masalah ini. . Misalkan te