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Aufgabensammlung zur Klassischen Theoretischen Physik I – MechanikInformationen zur mündlichen Modulabschlussprüfung und eine kurze Zusammenfassung der Themen derVorlesung finden Sie unter Inhaltsverzeichnis1 Allgemeine und Newtonsche Mechanik1.1 Coulomb-Potential [H02] . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Senkrechter Wurf mit Reibung [A05] . . . . . . . . . .1.3 Raketengleichung [H05] . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Modifiziertes Newtonsches Gravitationspotential [H05]1.5 Modifiziertes Newtonsches Gravitationspotential – Teil1.6 Periheldrehung [H06] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7 Runge-Lenz Vektor [A07] . . . . . . . . . . . . . . . .1.8 Präzession des Foucaultschen Pendels [A08] . . . . . .1.9 Freier Fall mit Rotation [H08] . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . .[H06]. . . . . . . . . . . . .2 Lagrange-Formalismus 2. Art2.1 Der schnellste Weg [A07] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Das Brechungsgesetz [A07] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Der Harmonischer Oszillator und das Noether-Theorem [H08]2.4 Schiefe Ebene [H09] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5 Zwei Massen und eine Tischplatte [H09] . . . . . . . . . . . .2.6 Erzwungene Schwingung [H10] . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7 Drei gekoppelte schwingende Massen [H10] . . . . . . . . . .2.8 Gekoppelte Pendel [A10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1122233446.778899910103 Hamilton-Formalismus113.1 Hamiltonsche Mechanik [H12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Drei gekoppelte schwingende Massen im Hamiltonformalismus [H12] . . . . . . . . . . . . . . 114 Streuung124.1 Streuung um kleine Winkel [H11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Allgemeine und Newtonsche Mechanik1.1 Coulomb-Potential [H02]TDas elektrische Potential V ( r) am Ort r (r1 , r2 , r3 ) einer Punktladung Q, die sich im Ursprung desKoordinatensystems befindet, ist gegeben durch das Coulomb-PotentialV (r1 , r2 , r3 ) QQ . r rk rkIn dieser Notation gilt aufgrund der Einsteinschen Summenkonvention rk rk ˆ(1)P3k 1 rk rk . .1. Berechnen Sie die auf eine Probeladung q resultierende Kraft F q V2. Wirkt eine Kraft F auf eine Probelandung der Masse m, wird diese gemäß m a F beschleunigt. Istdie resultierende Kraft zwischen zwei geladenen Teilchen mit q Q ( e) anziehend oder abstoßend?Begründen Sie. · V 3. Berechnen Sie die Divergenz des Kraftfeldes .

1.2 Senkrechter Wurf mit Reibung [A05]Ein Körper der Masse m wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 von der Höhe z 0 aus vertikal nachoben geworfen. Dabei erfährt er eine Luftreibung FR k ż 2 mit k 0.Zum Zeitpunkt t1 erreicht er die maximale Steighöhe H z(t1 ).1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Körpers ż(t) während seines Aufstiegs für 0 t t1 .2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt t1 und die Steighöhe H. Tipp: 1/ cos2 (x) 1 tan2 (x)Anschließend fällt der Körper wieder und erreicht den Boden zum Zeitpunkt t2 .1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Körpers ż(t) während seines Abstiegs für t1 t.2. Bestimmen Sie die Zeitspanne t2 t1 bis zu seinem Auftreffen auf dem Boden. Wie hoch ist seineEndgeschwindigkeit ż(t2 )? Tipp: 1/cosh2 (x) 1 tanh2 (x).1.3 Raketengleichung [H05]Eine Rakete der Anfangsmasse m0 startet senkrecht von der Erdoberfläche. Pro Zeiteinheit stößt sie dieGasmenge α (Einheit: Masse/Zeit) mit der Geschwindigkeit vg entgegengesetzt zur Flugrichtung aus.1. Wie lautet die Masse der Rakete m(t) als Funktion der Zeit t? Stellen Sie eine Differentialgleichungfür m(t) auf und lösen Sie diese.2. Aufgrund der Impulserhaltung trägt das abgestoßene Gas zur Beschleunigung der Rakete bei. GebenSie eine Gleichung für die Änderung des Impulses dp in der infinitesimalen Zeitspanne dt an.3. Beweisen Sie unter Verwendung der vorangegangenen Teilergebnisse, dass die Geschwindigkeit derRakete v(t) der Differentialgleichungv̇(t) g 1αm0vg mα0 t(2)genügt. Beachten Sie dabei, dass sowohl Masse als auch Geschwindigkeit der Rakete zeitlichen Änderungenunterliegen. Berücksichtigen Sie auch die Erdanziehungskraft Fg m(t)g.4. Lösen Sie die Differentialgleichung (2) mit einem Separationsansatz und schreiben Sie das Ergebnis inAbhängigkeit der Größen m0 , m(t) und vg auf.1.4 Modifiziertes Newtonsches Gravitationspotential [H05]Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die Bahnkurve ϕ(r) eines Teilchens im Zentralkraftfeld ausLϕ(r) ϕ(r0 ) 2mZrr01r02pE Ueff (r0 )dr0bestimmt werden kann. Das effektive Potential ist definiert als Ueff (r) V (r) das modifizierte GravitationspotentialγV (r) 2 .r(3)L22mr 2 .Betrachten Sie nun1. Zeigen Sie explizit, ob der Drehimpuls L und die Energie E in diesem Fall erhalten sind.

2. Untersuchen Sie, ob es für das modifizierte Gravitationspotential geschlossene Bahnkurven im BereichE 0 gibt. Führen Sie dazu das Integral in Gleichung (4) mit der Substitution x 1/r0 und rZadx1 arcoshx , a, c 0caax2 caus. Finden Sie einen Ausdruck fürden Verlauf der Bahnkurve ab.1rin Abhängigkeit von ϕ und leiten Sie daraus eine Aussage über1.5 Modifiziertes Newtonsches Gravitationspotential – Teil 2 [H06]Vom letzten Hausaufgabenzettel ist bekannt, dass die Bahnkurve ϕ(r) eines Teilchens im ZentralkraftfeldausZr1Lpdr0(4)ϕ(r) ϕ(r0 ) 2mr02 E Ueff (r0 )r0bestimmt werden kann. Das effektive Potential war definiert als Ueff (r) V (r) modifizierte Newtonsche GravitationspotentialV (r) L22mr 2 .Wir betrachten dasγr2erneut.Untersuchen Sie, ob es für das modifizierte Gravitationspotential geschlossene Bahnkurven im Bereich E 0gibt. Gehen Sie wie bei der letzten Hausaufgabe vor: Finden Sie einen Ausdruck für 1r in Abhängigkeit vonϕ und leiten Sie daraus eine Aussage über den Verlauf der Bahnkurve ab.Tipp: Die nötigen Stammfunktionen kennen Sie aus Anwesenheitsübung 6. Achten Sie darauf, alle Fälle zubehandeln!1.6 Periheldrehung [H06]Eine kleine Störung δU des Newtonschen Gravitationspotentials bewirkt, dass die Bahnkurve eines sich imPotential bewegenden Körpers bei endlicher Bewegung nicht mehr geschlossen ist. Die Lage des Radiusvektors- und damit die Lage des Perihels, des zentrumsnächsten Punktes - ändert sich um einen Betrag δϕ. In derVorlesung wurde gezeigt, dass für den bei der Bewegung vom Perihel (rmin ) zum Aphel (rmax ) überstrichenenWinkel ϕ giltrZmaxrZmaxLdrdrLqp ϕ (5) 222r2mr E Ueff (r)2m (E U (r)) Lr2rminrminDie Verschiebung des Perihels bei einem Umlauf ist daher gegeben durchrZmaxϕP rmin2Ldrqr2 2m (E U (r)) (6)L2r21. Zeigen Sie, dass gilt:rZmaxr ϕP 2 L2m (E U (r)) L2drr2(7)rmin2. Setzen Sie nun U U0 δU an, wobei U0 das ungestörte Gravitationspotential und δU eine kleineStörung ist. Entwickeln Sie die Wurzel aus 7 mithilfe der Relation a x 1a x,2 afür x a

und zeigen Sie, dass der Term nullter Ordnung gerade ϕP 2π ergibt und die Korrektur erster Ordnunggegeben ist durch δϕP LrZmax2mδU drqrmin2m (E U (r)) L2r2 2m L LZπr2 δU dϕ0Verwenden Sie hierfür Ihre Kenntnis der ungestörten Bewegung (dr ?).3. Berechnen Sie die Winkeländerung für die Störpotentiale δU1 βr2und δU2 γr3 .1.7 Runge-Lenz Vektor [A07] Für ein Potential der Form V α/r (Keplerproblem) ist neben der Energie E und dem Drehimpuls Lauch der Runge-Lenz Vektor1 r ε r Lαreine Erhaltungsgröße.1. Zeigen Sie, dass aus der Bewegungsgleichung des Keplerproblemsm r α rr3die Erhaltung von ε folgt.Bilden Sie dazu auf beiden Seiten der Bewegungsgleichung das Kreuzprodukt mit dem Drehimpuls.dNach einigen Umformungen erhalten Sie die gewünschte Aussage dt ε 0.2. Die Länge des Runge-Lenz Vektors kann durch den Drehimpuls und die Energie ausgedrückt werden.Zeigen Sie, dass sich für ε2 gerade das Quadrat der numerischen Exzentrizität ergibt, ε2 1 2L2E.mα23. Leiten Sie aus dem Runge-Lenz Vektor die Bahnkurve des Keplerproblems her. Wählen Sie das Koordinatensystem so, dass ε ε êx . Dann bilden Sie in Zylinderkoordinaten das Skalarprodukt ε · r underhalten eine Ellipsengleichung der Formr(ϕ) P1 ε cos ϕmit Halbparameter P und numerischer Exzentrizität ε ε . Was ergibt sich für den Halbparameter?1.8 Präzession des Foucaultschen Pendels [A08]Im Jahr 1851 hat der französische Physiker Jean Bernard Léon Foucault ein anschauliches Experiment zumNachweis der (damals schon bekannten) Erdrotation entworfen. Es beschreibt ein Pendel, das den Verlaufseiner Schwingung auf dem Boden markiert. Dabei ist zu erkennen, dass die Schwingungsebene mit derZeit rotiert. In dieser Aufgabe berechnen wir die Änderung der Schwingungsebene, hervorgerufen durch dieRotation der Erde.Das Foucaultsche Pendel befinde sich im Punkt P auf der Oberfläche eine kugelförmigen Erde, die sichmit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω dreht (siehe Abbildung 1). Das Koordinatensystem { ex , ey , ez } mitUrsprung P rotiere mit der Erde (siehe Abbildung 2).Für die Bearbeitung des Problems ist es sinnvoll, zu den lokalen Kugelkoordinaten { er , eθ , eϕ } (siehe Abbildung 2) überzugehen. Dabei ist der Ursprung dieses Koordinatensystems der Stützpunkt des Pendels, θseine Auslenkung und ϕ der Winkel der Schwingungsebene.

Abbildung 1: Skizze der Erde als Kugel mit Rotationsvektor ω . Das Pendel befinde sich im Punkt P in einemsich mitbewegenden Koordinatensystem { ex , ey , ez }.1. Wie lautet der Ortsvektor r der Pendelmasse in den Kugelkoordinaten { er , eθ , eϕ }?2. Stellen sie die normierten Einheitsvektoren { er , eθ , eϕ } in der Basis { ex , ey , ez } dar.3. Berechnen Sie r in der Basis { er , eθ , eϕ }.4. Berechnen Sie r in der Basis { er , eθ , eϕ }. Hinweis: Lassen Sie e ϕ unverändert stehen.Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die Bewegung einer Masse m in einem Nicht-Inertialsystem durchm r U m ω r 2m ω r m ( ω ( ω r)) r(8)gegeben ist. Im Folgenden vernachlässigen wir den letzten Summanden (Zentrifugalkraft) in (8).5. Welche der verbleibenden Summanden in (8) sind bezogen auf das betrachtete Problem konstant Null?6. Welche Komponenten der Erdanziehungskraft F g Uer , eθ , eϕ } sind immer Null? r zur Basis { Die Änderung der Rotationsebene ϕ̇ kann aus Gleichung (8) zuϕ̇ ω sin(ψ)(9)bestimmt werden, indem man lediglich die eϕ -Komponente der Bewegungsgleichung untersucht.7. Warum benötigt man zur Herleitung nur die eϕ -Komponente der Bewegungsgleichung?8. Leiten Sie (9) aus (8) her, indem Sie auf beiden Seiten mit eϕ multiplizieren und alle vorangegangenenTeilergebnisse nutzen. Hinweis: Nutzen Sie außerdem ω · er ω sin(ψ) (vergleiche Abbildung 1) undnähern Sie für kleine Auslenkungen θ, sodass sin(θ) θ und cos(θ) 1.9. Wie hoch ist die Periode der Präzession in Bochum (ψ 51, 5 )?

Abbildung 2: Skizze des Pendels der Länge l im bewegten Koordinatensystem mit Ursprung P .1.9 Freier Fall mit Rotation [H08]Im Folgenden wollen wir den freien Fall eines Körpers auf der Erde unter Berücksichtigung der Eigenrotationbetrachten.1. Zeigen Sie, dass der Betrag der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation durch ω ω 7, 3 · 10 51sgegeben ist. Stellen Sie den Vektor ω durch ω und ψ dar. Was gilt für ω ?In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Bewegungsgleichungen in einem rotierenden Koordinatensystemgegeben sind durch (Achtung: Zur Übersichtlichkeit werden die Striche im Folgenden fortgelassen) r U m ωm r r 2m ω r m ω ( ω r) .Der Potentialterm ist dabei für kleine Bewegungen an der Erdoberfläche gegeben durch r U mgêr . (10)

Ausdruck (10) lässt sich noch vereinfachen, indem die Zentrifugalkraft mit dem Potentialterm zusammengezogen wird: Für r const. ist die Zentrifugalkraft Fz m ω ( ω r) nahezu konstant und vergleichsweiseklein. Die Richtung der Zentrifugalkraft ist radial nach außen gerichtet (senkrecht zu ω und zur x-Achse),daher ändert sich, wenn man die Zentrifugalkraft mit der Erdanziehungskraft zusammenzieht, leicht derenRichtung und zeigt nicht mehr genau zum Erdmittelpunkt. Allerdings ist gerade durch die Zentrifugalkraftdie Erde leicht abgeflacht (am dicksten ist sie am Äquator), sodass die Summe von Erdanziehungskraft undZentrifugalkraft wieder senkrecht auf der Erdoberfläche steht. Daher lassen sich die Bewegungsgleichungenim Folgenden zum r mgeff êz 2m r ω (11)vereinfachen (dies müssen Sie nicht zeigen).2. Folgern Sie aus (11), dass sich die Bewegungsgleichungen komponentenweise schreiben lassen alsẍ 2ω ẏ sin ψ 2ω ż cos ψÿ 2ω ẋ sin ψz̈ geff 2ω ẋ cos ψ.Betrachten wir nun die Anfangsbedingungenẋ(0) ẏ(0) ż(0) 0x(0) y(0) 0,z(0) h.3. Nehmen Sie an dass ω 1 und ẋ 1 und zeigen Sie, dass damit gilt:y(t) 01z(t) h geff t221mx(t) ωgeff cos ψt3 10 4 3 t33sIn welche Himmelsrichtung wird ein fallender Körper abgelenkt? Welche Fallzeit ergibt sich für eineFallhöhe von 125 m und welche Ablenkung ergibt sich?Wählen Sie für die Rechnungen die geographische Breite ψ 65 . Es genügt, hier mit der Näherunggeff g zu rechnen. Mithilfe eines ähnlichen Experimentes konnte Galileo Galilei die Corioliskraft unddamit die Erddrehung messen.2 Lagrange-Formalismus 2. Art2.1 Der schnellste Weg [A07]In der Vorlesung haben wir durch Optimierung eines Längenfunktionals gezeigt, dass die kürzeste Verbindungzwischen zwei Punkten eine Gerade ist. In dieser Aufgabe wollen wir die schnellste Verbindung zwischen zweiPunkten bestimmen.Wir betrachten das in Abbildung 3 skizzierte Problem. Wir suchen die schnellste Verbindung von A nach B,wobei in der unteren Halbebene die Geschwindigkeit v1 und in der oberen v2 erreicht werden.Innerhalb einer Halbebene ist die schnellste Verbindung auch die kürzeste, und somit eine Gerade. Allerdingsist die schnellste Strecke von A nach B nicht notwendigerweise eine Gerade. Entscheidend hierbei ist derEintrittsparameter a, bzw. das Verhältnis von zurückgelegter Strecke je Halbebene.1. Stellen Sie eine Gleichung für die ReisedauerT (a) t1 (a) t2 (a)bei konstanten Geschwindigkeiten v1 und v2 in Abhängigkeit von a und den konstanten Größen y1 , y2und d auf. Hinweis: Wir nutzen a und d anstelle von x1 und x2 der Übersichtlichkeit wegen.

Abbildung 3: Skizze einer Strecke von A nach B.2. Stellen Sie eine Gleichung für die optimale Eintrittsstelle a auf, indem Sie die Euler-Lagrange-Gleichungd TdT 0dt ȧdafür a auswerten. Sie müssen diese Gleichung nicht explizit lösen.3. Vereinfachen Sie die aufgestellte Gleichung, indem Sie Ausdrücke für sin(α) oder sin(β) substituieren.2.2 Das Brechungsgesetz [A07]Aus der vorangegangenen Aufgabe kann man sehr leicht das Brechungsgesetz erhalten. Die Phasengeschwindigkeit von Licht in einem Medium mit Brechungsindex n ist näherungsweise gegeben durch v nc . DurchEinsetzen erhält man das Brechungsgesetz von Snelliusn1sin(β). n2sin(α)2.3 Der Harmonischer Oszillator und das Noether-Theorem [H08]Gegeben sei die Lagrangefunktion des dreidimensionalen harmonischen Oszillators:L 33mX 2 kX 2ẋi x .2 i 12 i 1 i1. Zeigen Sie, dass sich die Lagrangefunktion unter den neun Transformationen mit festen Parameternj, ls0(jl)j, l {1, 2, 3}xi xi (δij ẋl δil ẋj ),2transformiert wie dL (jl) ( x0 , x 0 ) L ( x, x ) s W (jl) ( x, t) O s2 .dtWie lautet die Funktion W (jl) ( x, t), die nur von x und t abhängt?

2. Berechnen Sie daraus die resultierenden neun Erhaltungsgrößen(jl)Γ 3Xi 1(jl)hi( x, t) L W (jl) ( x, t), ẋi0(jl)xi(jl) xi s hi( x, t).Folgern Sie außerdem, dass die Gesamtenergie E T U sowie alle Komponenten des DrehimpulsesLi erhalten sind, indem Sie zeigen, dassXE Γ(jj) ,j Li sXε2ijl (Γ(jj) Γ(ll) Γ(jl) Γ(jl) ).j,l2.4 Schiefe Ebene [H09]Gegeben sei eine schiefe Ebene, die mit dem Boden den Winkel α einschließe. Ein Block der Masse m, dersich zum Zeitpunkt t 0 in der Höhe h (in y-Richtung) auf der Ebene befinde, rutsche diese reibungsfreihinunter. Wie bewegt sich der Block? Lösen Sie mit dem Lagrangeformalismus zweiter Art. Geben Sie dieLösung für alle Zeiten t 0 an.2.5 Zwei Massen und eine Tischplatte [H09]Gegeben sei eine Tischplatte mit einem Loch in der Mitte. Durch das Loch sei ein als masselos zu behandelndes Seil der Länge l geführt, an dessen Enden sich die Massen m1 und m2 befinden. Das Loch habe dengleichen Durchmesser wie das Seil, wobei dieses reibungsfrei hindurch gleite. Die Masse m2 hänge senkrechtnach unten, während Masse m1 reibungsfrei auf der Tischplatte rotiere.1. Wie lauten die Zwangsbedingungen des Systems?2. Stellen Sie die Lagrangefunktion und die zugehörigen Bewegungsgleichungen auf. Wählen Sie dazuzunächst geeignete generalisierte Koordinaten (wie viele benötigen Sie?).3. Wann rutscht die Masse m2 nach oben, wann nach unten?4. Was passiert im Spezialfall, wenn m1 nicht mehr rotiert? Zeigen Sie durch explizite Rechnung.2.6 Erzwungene Schwingung [H10]Zwei Teilchen der Massen m1 und m2 seien durch eine masselose Feder mit der Federkonstante k gekoppelt.Die Feder habe die Ruhelänge l0 . Das System sei horizontal und reibungsfrei gelagert. Auf die Masse m2wirke entlang der Verbindungslinie die äußere, periodische KraftF F0 cos ωt .

1. Stellen Sie die Lagrangefunktion in Abhängigkeit der Teilchenkoordinaten {x1 , x2 } und ihrer Ableitungen auf.2. Wechseln Sie zu Schwerpunkts- und Relativkoordinaten {R, r}. Stellen Sie die Lagrangefunktion unddie Euler-Lagrange-Gleichungen auf.3. Wie lautet die Lösung für die Bewegung des Schwerpunkts R(t)?4. Finden Sie eine Lösung für die Relativbewegung r(t). Für die partikuläre Lösung können Sie denAnsatz rp B cos ωt C verwenden.5. Bestimmen Sie die Erregerfrequenz ω, für die sich m2 so bewegt, als ob es keine äußere Kraft gäbe.2.7 Drei gekoppelte schwingende Massen [H10]Zwei Massepunkte m seien durch masselose Federn der Federkonstante k mit einem Massepunkt M 2mverbunden, der sich zwischen den anderen beiden Massen befindet. Die Auslenkungen der Massen aus ihrenjeweiligen Ruhelagen seien von links nach rechts {x1 , x2 , x3 }.1. Stellen Sie die Bewegungsgleichungen der Massepunkte auf und schreiben Sie diese als Matrixgleichung.Aufgrund der Einfachheit des Problems können Sie die Bewegungsgleichungen auch direkt aus demKräftegleichgewicht ohne Aufstellen der Lagrangefunktion hinschreiben.2. Wie lauten die Eigenfrequenzen des Systems? Was ist die Bedingung an die Matrixgleichung für dieExistenz von nichttrivialen Lösungen?3. Berechnen Sie die Lösung des Systems unter den Anfangsbedingungen x1 (0) d, x2 (0) 0, x3 (0) d, ẋ1 (0) ẋ2 (0) 0 und ẋ3 (0) v.2.8 Gekoppelte Pendel [A10]Zwei ebene mathematische Pendel mit verschiedenen Massen m1 und m2 sowie derselben Pendellänge l seienim Abstand L voneinander aufgehängt und durch eine masselose Feder mit Federkonstante k und RuhelängeL miteinander verbunden. Die Pendel seien so montiert, dass sie sich ausschließlich in der x1 -x3 -Ebene(reibungsfrei) bewegen können.1. Stellen Sie die Lagrangefunktion mit den Winkeln θ1 und θ2 als verallgemeinerte Koordinaten auf undnähern Sie diese für kleine Auslenkungen, d.h. für θ1 1 und θ2 1.2. Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen ω1 und ω2 des gekoppelten Pendels. Stellen Sie dafür die Bewegungsgleichungen auf und formulieren Sie sie als Matrixgleichung.

3. Stellen Sie die Winkel θ1 und θ2 über die Normalkoordinaten Q1 und Q2 dar. Wie verhalten sich dieWinkel demzufolge für die Anfangsbedingungen θ1 (0) θ0 und θ2 (0) θ̇1 (0) θ̇2 (0) 0?3 Hamilton-Formalismus3.1 Hamiltonsche Mechanik [H12]In der Vorlesung wurde die Hamiltonfunktion eingeführt alsH({qa }, {pa }, t) nXq̇a pa L.a 1Außerdem wurden die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen hergeleitet:ṗa H, qaq̇a H. pa1. Geben Sie die Hamiltonfunktion H sowie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator an.2. Zeigen Sie, dass gilt: HdH .dt t3. Wann ist demnach H erhalten?4. Wie erkennt man im Lagrangeformalismus, dass die Energie erhalten ist?3.2 Drei gekoppelte schwingende Massen im Hamiltonformalismus [H12]Auf dem Hausaufgabenzettel 10 haben wir das Problem dreier gekoppelter schwingender Massen behandelt.In dieser Aufgabe sollen die Bewegungsgleichungen für das Problem (wobei hier die Masse M unabhängigvon m sein soll) nochmals im Hamiltonschen Formalismus hergeleitet werden.1. Stellen Sie für das Problem die Lagrangefunktion auf und berechnen Sie anschließend die Hamiltonfunktion.2. Leiten Sie mithilfe der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen die Bewegungsgleichungen des Systemsmẍ1 k(x1 x2 )M ẍ2 k(2x2 x1 x3 )mẍ3 k(x3 x2 )her. In Analogie zur vorherigen Aufgabe bezeichnen wir mit {x1 , x2 , x3 } die Auslenkungen der Massenaus ihren Ruhelagen von links nach rechts durchnummeriert.

4 Streuung4.1 Streuung um kleine Winkel [H11]Berechnen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt für die Streuung um kleine Winkel am PotentialU rαn , n 0. Tipp: Aus der Vorlesung wissen Sie sicher noch, dass sich der Streuwinkel bei kleinenAblenkungen in Abhängigkeit vom Stoßparameter b aus2bθ 2m v Z dUdr dr r2 b2bberechnet. Drücken Sie die Lösung des obigen Integrals in Abhängigkeit der Eulerschen Gammafunktion mitHilfe vonΓ(x)Γ(y) Γ(x y)Z10aus.tx 1 (1 t)y 1 dt

1 Allgemeine und Newtonsche Mechanik 1.1 Coulomb-Potential [H02] Das elektrische Potential V( r) am Ort r (r 1;r 2;r 3) T einer Punktladung Q, die sich im Ursprung des Koordinatensystems be ndet, ist gegeben durch das Coulomb-Potential V(r 1;r 2;r 3) Q j rj Q p r kr k. (