Transcription

RELASISOAL-SOAL DAN PENYELESAIAN1'1)Misalkan A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , B {4, 5, 6, 7, 8, 9} dan relasi R dari A ke Bdiberikan oleh R {(1,5),(4,5),(1 ,4),(4,6),(3,7),(7,6)}Carilah: Domain, range Uangkauan) dan R- 1Jawab:Domain dari R D {a / a EA dan (a,b) ER, bEB} {1, 3, 4, 7}Range dari R E {b / b EB dan (a,b) ER, a EA} {4, 5, 6, 7}R- 1 {(b,a) / (a,b) ER} {(5,1 ),(5,4),(4,1 ),(6,4),(7,3),(6, 7)}2.Misalkan R suatu relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan olehR {(x,y)/ x,yEN,x 3y 12}. Tentukan:(a) Tulis R dalam bentuk himpunan pasangan terurut.(b) Carilah domain, range dan invers dari RJawab:a). R sebagai himpunan pasangan terurutR {(2,3),(6,2),(9,1)}b). Domain dari R D {3, 6, 9} E {1, 2, 3}R- 1 {(b,a) / (a,b) ER} {(3,3),(2,6),(1,9)}Range dari [email protected])Suatu relasi R dari himpunan A {1,2, 3, 4} ke himpunan B {1, 3, 5},yangdidefinisikan oleh "x lebih keeN dari y"(c) Tulis R sebagai himpunan pasangan terurut.(d) Gambarkan R pada diagram koordinat A x B(e) Tentukan relasi invers R-1Jawab:135MODUL LOGIKA MATEMATIKA

(a) x R y dibaca x lebih kecil y ditulis x y.R {(X, y) / X y} {(1,3), (1,5), (2,3), (2,5), (3,5), (4,5)}(b) Diagram koordinat A x B dari relasi R sebagai berikut :B5R merupakan himpunan titik-titik yang4tampak pada diagram koordinat A x B.321123A4(c) R- ' {(y, x) / (x, y) E R) {(3, 1) (5, 1) (3, 2) (5, 2) (5, 3) (5, 4)}4.Suatu relasi R yang didefinisikan sebagai "x pembagi y" dari himpunan C {2,3, 4, 5} ke himpunan 0 {3, 6, 7, 10}(a) Tentukan R sebagai himpunan pasangan terurut(b) Gambar R pada diagram koordinat C x 0(c) Tentukan relasi inversR- 1Jawab:(a) R(b) {(2, 6), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (5, 10)}Diagram koordinat R sebagai berikut :D10(c). R '7 {(6, 2), (10, 2), (3, 3),(6,3), (10, 5)}65312345c136MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASI5.Misalkan M {a, b, c, d} dan suatu relasi R pada M yang memuat titik-titik yangtampak pada diagram koordinat berikut ini.M(a)dTentukansemuaunsurdiM yangberelasi dengan b, atau {x /{x, b) E R}c(b)Tentukan semua unsur di M sehingga dmerupakan relasinya, atau {x / (d, x) E R}b(c)Tentukan relasi invers R- 1aMabcdJawab:(a) Dari (a, b), (b, b) dan (d, b) diperoleh unsur-unsur pada M yang berelasidengan b yaitu {a, b, d}(b) Dari (d, a) dan (d, b), diperoleh unsur-unsur di M yang memenuhi {x / (x, b)E R} yaitu {a,b}(c) Karena R {(a, b), (b, a), (b, b), (b, d), (c, c), (d, a), (d, b)} makaR- 1 {(b, a), (a, b), (b, b), (d, b), (c, c), (a, d), (b, d)}1'V6\6Misalkan R suatu relasi yang didefinisikan sebagai relasiIIsIIpada himpunan N {1, 2, 3, .}. Yaitu (a, b) E R jika dan hanya jika a s b. Tentukan apakah R :(a) refleksif, (b) simetris, (c) transitif, ataukah (d) ekivalensi.Jawab:(a)R refleksif, sebab (VaEN) a sa(b)R tidak simetris, sebab (3a, bEN) 3 s 5, tetapi 5 i. 3(c)R transitif, sebab (Va, b, cEN) as b(d)R tidak ekivalensi sebab R tidak simetris. R akan ekivalensi jika R1\bsC- a s c.bersifat refleksif, simetris dan sekaligus transitif.137MODUL LOGIKA MATEMATIKA

, .(3)MislkanR adalahrelasipada himpunanA {2, 8, 32, 4} dimana".,xRymenyatakan bahwa "x membagi y" untuk setiap x,y EA.a. Tulis R sebagai pasangan terurutb. Buatlah relasi R dalam bentuk matriksc. Selidiki apakah R mempunyai sifat refleksif, simetris dan transitif.d. Buatlah graf untuk RJawab:a. R {(2,2),(2,8).(2,32),(2,4 ),(8,8),(8,32),(32,32),(4,4 ),(4,8),( 4,32)}b. R dalam bentuk matriksM28324211118a11a32aa1a4a111c. (i) Karena semua elemen-elemen diagonalnya 1, maka R bersifat refleksif.yaitu (2.2)ER, (8,8) ER ,(32,32)ER, dan (4,4)ER(ii) Dari matriks diatas tampak bahwa R mempunyai sifat Transitif, sebabuntuk setiap i,j,k 1, 2, 3, 4, berlaku mij Idan mjk 1 maka mik 1(iii) Matriks M diatas tidak simetris, karena mij mji'Jadi R tidakmempunyai sifat simetris, dan R bersifat anti-simetris138MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASId.8.Misalkan W {1, 2, 3, 4}. Perhatikan relasi-relasi R 1,R2,dan R 3 pada Wberikut ini :R 1 {(1, 2), (4, 3), (2, 2), (2, 1), (3, 1)}R 2 {(2, 2), (2, 3), (3, 2)}R3 {(1, 3)}Tentukan relasi mana yang (a) Simetris, (b) Transitif.Jawab:(a) Simetris:R dikatakan simetris (Va, bE W)(a, b) E R - (b, a) E RR 1 tidak simetris, sebab (3 3, 4 E W) (4,3) E R 1 , tetapi (3,4) tt. R 1 R 2 Simetris, sebab (V2,3EW) (2,3)ER2 -(3, 2) ER2 (2, 2)ER2 -R3 tidak simetris, sebab (V 1, 3 E W) (1,3) E R3.1\.(2,2) ER2(3, 1) tt. R3(b) Transitif:R dikatakan transitif jika dan hanya jika (Va, b, c E W)(a, b)E R1\(b, c) ER - (a, C)E RR 1 tidak transitif, sebab (3 1, 3, 4 E W)(4, 3)E R 11\(3, 1) ER1 (3, 2) E R 21\(2, 3) E R 2 (4, 1)tt. R 1R2 tidak transitif, sebab(3 2, 3 E W)(3, 3) tt. R2R3 tidak transitif, sebab R3 hanya mempunyai satu unsur yaitu (1,3) E R3139MODUL LOGIKA MATEMATIKA

9.Suatu relasi R {(1,1), (2, 3), (3, 2)} pada X {1, 2, 3}. Tentukan apakah Rmempunyai sifat(a) refleksif (b) Simetris, ataukah (c) transitif.Jawab:(a) R tidak refeksif, sebab 2 E X, tetapi (2, 2) E R(b) R Simetris, sebab R"' {(1, 1), (3, 2), (2, 3)} R(c) R tidak transitif, sebab (3, 2) E R dan (2, 3) E R , tetapi (3,) . R10. Misalkan R adalah suatu relasi dari himpunan E {2,3, 4, 5} ke himpunan F {3, 6, 7, 10} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "y habis dibagi oleh )(".(a) Tuliskan R sebagai himpunan pasangan-pasangan terurut, yaitu carilahhimpunan jawab dari R.(b) Buatlah sketsa dari R pada diagrain koordinat Ex F.Jawab:(a)Pandang keenam belas elemen dalam E x F dan pilihlah pasangan pasangan terurut dimana elemen keduanya habis dibagi oleh elemenpertamanya; maka RE {(2, 6). (2. 10), (3, 3), (3.6), (5, 10)10(b). Sketsa dari R pada diagramkoordinat Ex F diperlihatkan7pada tabel berikut632311. Diketahui M {a, b,4C,5d} dan relasi R pada M didefinisikan sebagai himpunantitik-titik yang diperlihatkan pada diagram koordinat M x M dibawah ini.(a) Nyatakan apakah masing-masing berikut in; benar atau salah:(a) C Rb, (b) df( a, (c) af( c, (d) bf( b140MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASI(b) Carilah {x / (X,b)ER}, yaitu semua elemen-elemen dalam M yang berelasidengan b.(c) Carilah {x I (d, x) E R}, yaitu semua elemen-elemen dalam M yang berelasiMdengan d.dcbaabcMdJawab:(1) Perhatikan bahwa x R y benar jika dan hanya jika (x, y) termasuk dalam R.(a)Salah, karena (c, b) R.(c)(b)Salah, karena (d, a) E R.(d) Salah, karena (b, b) E R.Benar, karena (a, c) R(2) Garis horizontal yang melalui b memuat semua titik dari R di mana bmuncul sebagai elemen kedua; ia memuat pasangan-pasangan terurut (a,b), (b, b) dan (d, b) dari R.Oleh karena itu {x I (x, b)E R} {a, b, d}(3) Garis vertikal yang melalui d memuat semua titik dari R dengan d munculsebagai elemen pertama; yaitu titik-titik (d, a) dan (d, b) dari R.x) E R} Jadi {x I (d,{a, b}.12. Masing-masing kalimat terbuka berikut ini mendefinisikan suatu relasi dalambilangan-bilangan riil.diagram koordinat dari(1)BuatJah sketsa dari masing-masing relasi pada suatuRi x Ri .y ? (4)y sinx ? (5)y (2) y s(3) Y 3- x(6).0y .0Jawab:141MODUL LOGIKA MATEMATIKA

riilyangdidefinisikan oleh kalimat terbuka berbentuk(a)y f(x)(b)y f(x)(c)Y f(x)(d)Y f(x)(e)(e) y s f(x)Pertama-tama gambarkan kurva y f(x).Maka relasinya, akan terdiri atas titik titik.y f(x)(a)pada(b)di atas y(c)di atas dan pada y f(x)(d)di bawah y f(x)(e)di bawah dan pada y f(x) f(x)(f) Jadi gambar-gambar berikut ini adalah sketsa-sketsa dari relasi-relasi di atas:,,5(2) ys.i,I/I(4) YO!: sin x3(6), y x142MOI)UL LOGIKA MATEMATIKA

RELASIPerhatikan bahwa, kurva y f(x)digambarkan dengan garis terputus-putus jikatitik-titik pada y f(x) tidak termasuk dalam relasi.13. Masing-masing kalimat terbuka berikut ini mendefinisikan suatu relasi dalambilangan-bilangan riil. Buat sketsa masing-masing relasi pada di koordinat R x RJawab:Untuk membuat sketsa suatu relasi dalam bilangan-bilangan riil yangdidefinisikan oleh kalimat terbuka berbentuk f (x, y) gambarkan f (x, y)daerah-daerah. (atau s, , ), maka 0. Kurva f (x, y) 0, akan membagi bidang dalam berbagaiRelasi ini akan terdiri dari semua titik-titik dalam satu ataumungkin lebih daerah-daerah.Ujilah satu atau lebih titik-titik dalam tiap-tiap daerah untuk menentukanapakah semua titik dalam daerah itu termasuk dalam relasi atau tidak.Sketsa dari masing-masing relasi di atas hasilnya adalah sebagai berikut2x2 - 4y2 - 9 :s 0,,-33I X2 / 16","\, 4,; - 4/ 9143MODUL LOGIKA MATEMATIKA

14. Pandang relasi R {(1, 5), (4, 5), (1,4), (4,6), (3, 7), (7, 6)}. Carilah(1) Domaindari R, (2) Jangkauan dari R, (3) invers dari R.Jawab:(1) Domain dari R terdiri atas himpunan dari elemen-elernen pertama dalam R;oleh karena itu domain dari R adalah {1, 4, 3, 7}(2) Jangkauan dari R terdiri dari himpunan dar; elemen-elemen kedua dalamR; oleh karena itu domain dari R adalah {5, 4, 6, 7}(3) Invers dari R terdiri dari pasangan elemen dalam R dengan urutannya dibalik.Jadi R- 1 {(5, 1), (5,4), (4, 1), (6,4), (7, 3), (6, 7)}15. Misalkan T {I,2, 3, 4, 5} dan R suatu relasi dalam T merupakan himpunantitik-titik yang diperlihatkan dalam diagram koordinat Tx T berikut ini:(l) Carilah domain dari R(2) Tentukan jangkauan dari R(3) Cari invers dari R.(4) Buatlah sketsa R- 1 pada diagram koordinat Tx T.Jawab:T(1) Elemen x E T berada dalam domain5 -----r---.----r--,.---,R jika dan hanya jika garis vertikal4yang melalui --- --.--- - .--Idan R. Jadi domain dari R adalah3 -- -- -- - -----1himpunan2 --- -- ---1------4.-.(2)34Elemen x E T5{2,4,5};karenagansvertikal yang melalui tiap-tiap elemen1 --- --.-- -- ---I2x memuat sebuah titikini dan hanyalah elemen-elemen iniTyang mengandung titik-titik dalam R.berada dalam jangkauan R jika dan hanya jika garishorizontal yang melalui x memuat sebuah titik dari R. Jadi jangkauan dariR adalah himpunan{1, 2, 4}, karena garis horizontal yang melalui tiap-144MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASItiap elemen ini, dan hanyalah elemen-elemen ini yang memuat sekurang kurangnya satu titik dari R. Karena R {(2, 1), (2,4), (4, 2), (4,4), (5, 2)}(3)R- 1 {(1, 2), (4, 2), (2,4), (4,4), (2, 5)}(4)R- 1 diperlihatkan pada diagram koordinat TxT sebagai berikut:T5 --.--- .-.------,---,4 -- -. -1----.-----13 --- -- --1---f---12 - .1---- --1-----.----11 ---- --- --I---I-------J16.Misalkan R {(x,diagram koordinat12y}Ix E345Tf?I, y E F(#, 4x2 gy2 36}.Sketsa dari R padaf?I x f?I adalah sebagai berikut:2Carilah:.,((1) Domain dari R,\3J(2) jangkauan dari R,(3) R- 1-2Jawab:(1) Domain dari R adalah selang [-3, 3] karena garis vertikal yang melalui tiap tiapbilanganini dan rangnya satu titik dari R.(2) Jangkauan dari R adalah selang [-2, 2], karena garis horizontal yangmelalui tiap-tiap elemen dan hanyalah elemen-elemen ini, yang memuatsekurang-kurangnya satu titik dari R.145MODUL LOGIKA MATEMATIKA

1(3) Menurut definisi invers dari R diperoleh R- dengan mempertukarkan x dany dalam kalimat terbuka yang mendefinisikan R; yaitu:R- 1 {(x,y)I x Eft, y E Ft,9)( 41 36}17. Apakah ada hubungan antara domain-jangkauan dari suatu relasi R , dandomain-jangkauan dari R- 1 ?Jawab:KarenaR- 1 terdiri dari pasangan-pasangan yang sama seperti dalam R kecualidalam urutan terbalik maka tiap-tiap elemen pertama dalam R akan menjadielemen kedua dalam R- ' dan tiap-tiap elemen kedua dalam R akan menjadielemen pertama dalam R- 1 Maka domain R adalah jangkauan R- 1 danjangkauan dari R adalah domain R-1 18. Misalkan R adalah relasi dalam bilangan-bilangan asli Ndidefinisikan oleh kalimat terbuka "2x y {1 10", yaitu R {(x,2x Y 10}; Carilah: (1) domain dari R,y)J2,3, .} yangI XE N,(2) jangkauan dari R,yE N,(3) R- 'Jawab:Pertama perhatikan bahwa himpunan jawaban dari 2x y 10 adalahR {(1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)} meskipun terdapat tak-berhingga elemen elemen dalam N.(1) Domain dari R yang terdiri dari elemen-elemen pertama dari R adalah{I, 2, 3, 4}.(2) Jangkauan dari R yang terdiri dari elemen-elemen kedua dari R adalah{8, 6,4,2).(3)R-1diperoleh dengan mempertukarkan x dan y dalam kalimat terbukayang mendefinisikan R; jadi R-1 {(x, y) Ix EN, YEN, x 2y 10}1Juga karena R- terdiri dari pasangan-pasangan yang sama dalam Rkecuali dalam urutan terbalik, maka f(1 dapat didefinisikan sebagai:R- 1 {(8, I), (6, 2), (4, 3), (2,4)}146MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASI19. Misalkan W {1, 2, 3, 4} dan relasi R ({1, 1), (1,3), (2,2), (3, 1), (4, 4)}.Apakah R refleksif ?Jawab:R tidak refleksif karena 3 E W dan (3,3) f/:.R.20.Misalkan E {1 , 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E.R 1 {(1, 2),(3, 2),(2, 2),(2, 3)}R4 ({I, 2)}R2 {(1, 2),(2, 3),(1, 3)}Rs Ex ER 3 {(I, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}Nyatakan apakah masing-masing relasi berikut adalah refleksif atau tidak.Jawab:Jika suatu relasi dalam E adalah refleksif maka (1, 1), (2, 2) dan (3, 3) harustermasuk relasi R.Dengan demikian R3 dan R s bersifat refleksif.21.Misalkan V {1, 2, 3, 4) dan relasi R pada V yang didefinisikan sebagai R ({1,2), (3, 4), (2, 1), (3, 3)}. Apakah R simetris?Jawab:R tidaklah simetris, karena 3E V, 4E V, (3,4)ER dan (4, 3)f/:.R.22. Misalkan E {1, 2, 3}.Pandang relasi-relasi berikut dalam E: ({I, 1), (2, 1), (2,2), (3,2), (2,3)}R 3 ({I, 2)}R1 ({I, 1)}R4 ({I, 1), (3, 2), (2, 3)}R2Rs Ex ENyatakan apakah relasi-relasi ini simetris atau tidak?Jawab:(1) R1 tidaklah simetris karena (2, 1)E R1 tetapi (1, 2)f/:.R1(2) R 2 simetris.(3) R3 tidaklah simetris karena (1, 2) E R3 tetapi (2, 1) E R3(4) R4 Simetris147MODUL LOGIKA MA-rEMATIKA

(5) Rs Simetris23. Bilamana suatu relasi R dalam himpunan A tidak anti-simetris?Jawab:R tidaklah anti-simetris jika terdapat elemen-elemen a E A, b E A, a . bsehingga (a, b) E R dan (b, a) E R.24. Misalkan W {1, 2, 3, 4} dan R {(1, 2), (3, 4), (2, 2), (3, 3), (2, 1)}. Apakah Ranti-simetris?Jawab:R tidaklah anti-simeteris karena 1E W, 2 E W, 1 . 2, (1, 2) E R dan (2. 1) E R.25. Misalkan E {1, 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E :R 1 {(1, 1), (2,1), (2,2), (3,2), (2,3)}R2 {(I,1)}R3 {(I, 2)}R4 {(1, 1), (2,3), (3,2)}Rs ExENyatakan apakah masing-masing relasi ini anti-simetris atau tidak.Jawab:(1) R 1 tidaklah anti-simetris karena (3,2) E R, dan (2,3) E R 1 .(2) R2 anti-simetris(3) R3 anti-simetris.(4) R4 tidaklah anti-simetris karena (2.3) E R4 dan (3, 2) E R4(5) Rs tidak anti-simetris berdasarkan alasan yang sama sebagaimanauntuk R426.Misalkan E {1, 2,3}. Berikan sebuah contoh dar; suatu relasi R dalam E dimana R tidaklah simetris dan anti-simetris.148MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASIJawab:Relasi R {(1 ,2),(2,1 ),(2,3)} tidak simetris karena (2,3) E R tetapi (3,2)Et;R.R juga tidak anti-simetris karena (1, 2) E R dan (2, 1)E R.27. Misalkan himpunan W {1, 2, 3, 4} dan relasi R {(I, 2), (4, 3), (2, 2), (2, 1), (3,1)}. Apakah R transitif ?Jawab:R tidaklah transitif karena (4, 3) E R , (3, 1) E R tetapi (4, 1 )Et;R.28. Misalkan W {1, 2, 3, 4} dan R {(2, 2), (2, 3), (1,4), (3, 2)}.Apakah R transitif?Jawab:R tidaklah transitif karena (3,2)E R, (2,3)E R tetapi. (3,3)Et; R.29.Misalkan E { 1, 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E :R 1 {(1, 2), (2, 2)}R2 {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (1, 1)}R3 {(1, 1)}Rs Ex ER4 {(1,2)}Nyatakan apakah relasi-relasi ini transitif atau tidak.Jawab:Masing-masing relasi ini transitif keeuali R 2 , R 2 tidak transitif karena(2,1) E R2 , (1,2) E R2 , tetapi (2,2)Et;R230.Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R databilangan-bilangan asli N. Nyatakan apakah masing-masingnya adalah suaturelasi refleksif atau tidak(1) lebih keeil atau sama dengan y(2) "y habis dibagi oleh x(3) "z y 10"(4) "xdan y secara relatif bilangan prima".149MODUL LOGIKA MATEMATIKA

Jawab:(1) Karena a s a untuk setiap a EN maka (a, a) E R. Oleh karena itu R adalahrefieksif.(2) Karena setiap bilangan habis dibagi oleh dirinya sendiri maka relasi inirefJeksif.(3) Karena 3 3 . 10 maka 3 tidaklah bemubungan dengan dirinya sendiri.Oleh karena itu R tidaklah refJeksif.(4) Pembagi terbesar untUk 5 dan 5 adalah 5; jadi (6, 5) E f R. Oleh karena ituR tidaklah retleksif.31.Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R dalambiJangan-bilangan asli A. Nyatakan apakah masing-masingnya adalah relasisimetris atau tidak.(1) "X lebih keciJ daripada atau sama dengan y"(2) "X habis dibagi oleh y"(3) "X Y 10"(4) "x 2y 10"Jawab:(1) Karena 3 s 5 tetapi 5 s 3, maka (3,5)E R dan (5,3) R.Jadi R tidaklah simetris.(2) Karena 4 habis dibagi oleh 2 tetapi 2 tidak habis dibagi oleh 4, maka(2,4)ER dan (4,2) R. Oleh karena itu R tidaklah simetris.(3) likaa b 10 maka b a 10; atau dengan perkataan lain, jika (a, b)E Rmaka (b, a) E R. Oleh karena itu R adalah simetris.(4) Perhatikan bahwa (2, 4)E R tetapi (4, 2) R , yakni 2 2(4) 10 tetapi 4I 2(2) .10. Jadi R tidaklah simetris.32. Buktikan: Misalkan R dan S adalah relasi-relasi simetris dalam himpunan A;maka Rn S adalahsuatu relasi simetris dalam A.Jawab:150MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASIPertama perhatikan bahwa R dan S adalah subhimpunan dari A x A; olehkarena ituR n S adalah juga subhimpunan dari A x A dan dengan demikianadalah suatu relasi dalam A.lVIisalkan (a, b) termasuk R n S. Maka (a, b)E R. dan (a, b)E S. Karena R danS adalah simetris, maka (b, a) juga termasuk R dan (b, a) juga termasuk S ;oleh karena itu (b, a) ERn S.Dengan memperlihatkan bahwa jika (a, b)E R n S maka (b, a)E R n S. olehkarena itu R n S adalah simetris.33. Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R dalambilangan-bilangan asli N. Nyatakan apakah masing-masing relasi ini anti simetris atau tidak.(1) "x lebih keeil daripada atau sama dengan y "(2) "x lebih keeil daripada y"(3) "x 2y 10"(4) "x habis dibagi oleh y"Jawab:(1) Karena a s b dan b s a menyatakan bahwa a b, maka R anti-simetris.(2) Jika a . b, maka a b atau b a; oleh karena itu R anti-simetris.(3) Himpunan jawab adalah R {(2,4), (4,3), (6,2), (8,1)}. Perhatikan bahwaRn R- 1 0, yang mana adalah subhimpunan dari "garis diagonal" N x N.Oleh karena itu R anti-simetris.(4) Karena b habis dibagi oleh a dan a habis dibagi oleh b menyatakan bahwaa b, maka R anti-simetris.34. Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R dalambilangan-bilangan asli N. Nyatakan apakah masing-masing relasi ini transitifatau tidak.(1) "x lebih keeil daripada atau sama dengan y"(2) "y habis dibagi olehx'151MODUL LOGIKA MATEMATIKA

(3)"x y 10"(4)"x 2y 5"Jawab:(1) Karena a s b dan b sCmenyatakan bahwa a s c, maka relasi ini transitif.(2) Jika y habis dibagi oleh x dan z habis dibagi oleh y, maka z habis dibagioleh x, yaitu;(x, y) E R (y, z) E R menyatakan bahwa (x, z) E R.IOleh karena itu R transitif(3) Perhatikan bahwa 2 8 10,8 2 10 dan 2 2 . 10; Yaitu,(2,8) E R , (8,2) E R tetapi (2,2)ftROleh karena itu R tidak transitif.(4) R tidak transitif, karena (3, 1)E R , (1, 2)E R tetapi (3,2)ftR; Yaitu,3 2(1) 5, 1 2(2) 5 tetapi 3 2(2) . 535.1Buktikan jika suatu relasi R transitif, maka relasi invers R- juga transitifJawab:Misalkan (a,b) dan (b,c) termasuk R-1;maka (C,b)E R dan (b,a)E R. Karenatransitif maka (c,a) juga termasuk R; oleh karena itu (a,c)E R11.1Kita telah memperlihatkan bahwa jika (a,b)E R- , (b,C)E R- maka (a,c)ER- 1 ; oleh karena itu R- 1transitif.36. Misalkan R adalah relasi dalam bilangan-bilangan asli N yang didefinisikan olehkalimat terbuka "(x - y) dapat dibagi oleh 5"; yaitu misalkanR {(x, y) I x EN, YEN, (x - y) dapat dibagi oleh 5}Buktikan bahwa R suatu relasi ekivalen.Jawab:Misalkan aEN; maka (a - a)a)E R. 0 dapat dibagi oleh 5,dan oleh karena itu (a,Jadi R refleksif.152MODUL LOGIICA MATEMATIICA

RELASIMisalkan (a, b)E R ; maka (a - b) dapat dibagi oleh 5, dan oleh karena itu (b a) -(a - b) juga dapat dibagi oleh 5. Jadi (b, a) termasuk R. Karena jika(a,b)E R maka (b, a)E R . Jadi R simetris,Misalkan (a, b)E R dan (b, e)E R; maka (a - b) dan (b - e) masing-masing dapatdibagi oleh 5. Oleh karena itu (a - e) - (a - b) (b - e) juga dapat dibagi oleh 5,yang berarti (a, e) termasuk R. Karena jika, (a, b) E R dan (b, e) E R maka (a,e) E R . Jadi R adalah transitif.Karena R refleksif, simetris dan transitif maka menurut definisi R suatu relasiekivalen.37. Misalkan R dan S adalah relasi-relasi dalam himpunan A. Buktikan keduapernyataan berikut:(1) Jika R dan S simetris maka R U S simetris.(2) Jika R refleksif dan S sebarang relasi maka R U S refleksif.Jawab:(1) Jika (a, b) E R US, maka (a, b) termasuk R atau S, yang mana adalahsimetris. Oleh karena itu (b,a) juga termasuk R atau S. Maka (b, a) E R US dan dengan demikian R U S simetris.(2) R refleksif jika dan hanya jika R memuat "garis diagonal" 0 dari A x A.Tetapi 0cR dan RcR U S maka 0 C R U S.Dengan demikian R U Srefleksif.38. Misalkan R dan S adalah relasi-relasi dalam himpunan A. Perlihatkan erikancontohberlawanannya yaitu suatu contoh di mana pernyataan ini tidak benar.(1) Jika R anti-simetris dan S anti-simetris maka R U S anti-simetris,(2) Jika R transitif dan S transitif maka R U S transitif.Jawab:(1) R {(I, 2)} dan S {(2, 1)} masing-masingnya anti-simetris ; tetapi R U S {(1, 2), (2, 1)} tidak anti-simetris.153MODUL LOGIKA MATEMATIKA

(2) R {(1, 2)} dan S {(2, 3)} masing-masingnya transitif; tetapi R U S {(1,2), (2, 3)} tidak transitif.39.Misalkan dua relasi R dan S yang didefinisikan sebagai R {(x, Y)IXE Ft,Eft, Y ), dan S ((x,y) I x Eft, Y EYFt, y:s X 2)Perhatikan bahwa R dan S kedua-duanya adalah relasi dalam bilangan bilangan riil.(1) Buatlah sketsa relasi Rn Spadadiagram koordinatFt x Ftn S.Carilah jangkauan R n S.(2) Carilah domain R(3)Jawab:(1) Buatlah sketsa R pada diagram koordinatFtxFt,berikan R arsirandengan garis-garis miring yang condong ke kanan (1///); dan pada diagramkoordinat yang sama, buatlah sketsa S dengan garis-garis miring yangcondong ke kiri (\\\\), seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.bergaris silang adalah RnS.Jadi RnMaka daerahS adalah yang diperlihatkan dalamGambar 2.R dan S yang disketsaGambar 1(2)Domain dari Rnb 2Gam arS adalah [-1, 2], karena sebuah garis vertikal yang melaluitiap-tiap titik dalam selang ini dan hanyalah titik-titik ini, akan memuat sebuahtitik dari R(3)n S.Jangkauan dari RnS adalah [0, 4], karena sebuah garis horizontal yangmelalui tiap-tiap titik dalam selang ini dan hanyalah titik-titik ini, akan memuatsekurang-kurangnya satu titik dari Rn S.154MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASI40.Buktikan jika 5, T, dan para R j(untuk semua i berjalan pada himpunan index I) adalah relasi reJasi pada A, maka berlaku(a)(STr l T- I S-I(b)(n j Rj)-I n j R j- I(c)(U i Rjr l Uj R j- IJawab:Menggunakan definisi relasi sehingga diperoleh:(a).(a, b)E(ST)-1 jika dan hanya jika (b,a)EST-(3cEA)dengan(b,c)ES" (c,a)ET-(3cEA)dengan(c,b)ES- I " (a,c)ET- I-(3cEA)dengan (a,c)ET- I " (c, b)ES- I-(a, b)ET-IS- IJadi(ST)-I T- I S-I(b).Ambil index set I a, f3, y, .(a, b)E(njRjrl jikadanhanyajika(b,a)E n j R j-(b,a)ER a " (b,a)E R,a ,,(b,a)E Ry" .-(a, b)ER- la ,,(a, b)E R-l,a " (a, b)E R-Iy" .-(a, b)E n j R-IjJadi (njRjrl njR j (c).Ambil index set I1 a, f3, y, .(a,b)E(UjRjrl jika dan hanya jika (b,a)EU j R j-(b,a) ERa v (b,a)ER,a v (b,a)ERyv .-(a,b)ER- la v (a,b)ER-l,a v (a,b)ER-Iy v .155MODUL LOGIKA MATEMATIKA

Jadi(a,b)EU j R-\(U j R j r 1 Uj R j- 1SOAl SOAl lATIHAN1.Misalkan R relasi pada A {2,3, 4, 5} di definisikan oleh "x dany'relatifprima" yaitu pembagi bersama dari x dan y hanyalah bilangan "satu"(a) Tuliskan R sebagai himpunan pasangan terurut.(b) Gambarkan R pada diagram koordinat A x A(c) Tentukan R-1 .2.Misalkan N {1, 2, 3, .} dan R relasi di N yang didefinisikan sebagai x 2yR {(x, y) / x, yEN, x 2y 8} 8, yakni(a) Tulis R sebagai himpunan pasangan terurut.(b)Tentukan R- 1 3.Misalkan W {1, 2, 3, 4}. Perhatikan relasi-relasi dalam W berikut ini :R 1 {(1,1), (1,2)}R2 {(1,1), (2,3), (4,1)}R3 {(1,2), (2,4)}R 4 {(1,1), (2,2), (3,3)}R s Wx WRe 0Selidiki apakah masing-masing relasi diatas bersifat (a) refleksif (b) simetris (c)transitif4.Misalkan R relasi tegak lurus pada himpunan garis pada bidang. Tentukanapakah R : (i) refleksif (ii) Simetris (iii) transitif atau (iv) ekivalensi.5.Misalkan W {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tentukan apakah masing-masing berikut inimerupakan partisi pada W atau bukan:156MODUL LOGIKA MATEMATIKA--------------------------------

RELASI(a) [{1,3,S}, {2,4}, {3,6}](b)(e). [{1.5}, {2}, {4}, {1 ,5}, {3,6}]({1 ,S}, {2}, {3,6}](d). [ {1,2,3,4,5,6}] {1 ,2,3}6.Tentukan semua partisi dari A7.Misalkan R adalah relasi dalam B {2, 3, 4, 5, 6} yang didefinisikan olehkalimat terbuka"I x - y Idapat dibagi oleh 3" Tuliskan R sebagaihimpunan daripasangan-pasangan terurut.8.Misalkan C {1, 2, 3, 4. 5}, dan relasi R dalam C adalah himpunan titik-titikyang diperlihatkan dalam diagram koordinat C x C berikut.C5 4----,---,.-----'l.------,---,4 -----.--- -----4i.- 3 -- -- - -- ----I2-1----. - - '---- 2345c(a) Nyatakan apakah masing-masing pernyataan benar atau salah: (a) 1 R 4,(b) 2 R 5, (e) 3 f( 1, (d) 5f( 3.(b) Tuliskan masing-masing sUbhimpunan C berikut dalam bentukpendaftaran:{x 13 R x}{x I (4, x) E R}{x I (x, 2) R}{x I x R 5)(e) Carilah domain dari R,(d) Tentukan jangkauan R,(e)9.Definisikan R- 1Diketahui R {(x, y) I xE , yE , -?- 41 s 16}.(a) Buatlah sketsa R pada diagram koordinat x .157MO[)UL LOGIICA MATEMATIICA

(b) Carilah ranah dari R,(c) Tentukan jangkauan R.10.Jika R {(x, y) I xE , yE , t - is 4}, maka:(a) Buatlah sketsa R pada diagram koordinat x .(b) Carilah ranah dari R,(c) Tentukan jangkauan dariR.(d) Definisikan R"1.11.Suatu relasi R pada bilangan-bilangan asli N yang didefinisikan oleh kalimatterbukaR"x 3y 12" dinyatakan sebagai : {(x, y) I x EN, Y EN, x 3y 12}(a) Tuliskan R sebagai himpunan pasangan-pasangan terurut.(b) Carilah ranah dari R,(c). Tentukan jangkauan dari R,(d) Definisikan R- 112.Misalkan R suatu relasi dalam bilangan-bilangan asli N yang didefinisikansebagai"2x 4y 15".(a) Tuliskan R sebagai himpumn pasangan-pasangan terurut.(b) Carilah ranah dari R,(c) Tentukan jangkauan dariR,(d)13.Definisikan relasi invers R- 1Nyatakan masing-msing pernyataan berikut benar atau salah.Anggaplah Rdan S adalah relasi-relasi dalam himpunan A.1(a) Jika R simetris maka R- simetris.1(b) Jika R anti-simetris, maka R- anti-simetris.(c) Jika R refleksif, maka Rn R- 1 . 0.(d) Jika R simetris, maka Rn R- 1. 0.(e) Jika R transitif dan S transitif, maka R US transitif.(f).Iika R transitif dan S transitif, maka Rn S transitif.158MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASI(g) Jika R anti-simetris dan S anti-simetris maka R U S anti-simetris.(h) Jika R anti-simetris dan S anti-simetris maka R14.n S anti-simetris.(i)Jika R refleksif dan S refleksif, maka R U S refleksif.U)Jika R refleksif dan S refleksif, maka Rn S refleksif.Misalkan L adalah himpunan dari garis-garis dalam bidang Euclid dan Radalah relasi dalam L yang didefinisikan oleh "x sejajar y". Nyatakan apakahrelasi R (1) refleksif, (2) simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif, ataukah tidak.(Anggap sebuah garis sejajar dirinya sendiri).15.Misalkan L himpunan dari garis-garis dalam bidang Euclid dan R adalah relasidalam L yang didefinisikan oleh "x tegak lurus y".Nyatakan apakah R (1)refleksif, (2) simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif.16.Misalkan A keluarga himpunan-himpunan dan R adalah relasi dalam A yangdidefinisikan oleh "x terpisah dari y".Nyatakan apakah R (1) refleksif, (2)simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif, ataukah tidak.17.Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi dalambilangan-bilanganasli N.(a) "x lebih besar daripada y"(b) "x adalah kelipatan y"(c) "x kali yadalah kuadrat dari sebuah bilangan".(d) "x 3y:;; 12"Nyatakan apakah masing-masing relasi tersebut (a) refleksif, (b) simetris, (c)anti-simetris, (d) transitif, ataukah tidak.18.Pandang relasi-relasi dalam bilangan-bilangan riil berikut ini: {(x, y) I xER*, yER*, Jt 'I s 25}S {(x, y) I xER*, yER*, y 4Jt/9}R(a) Buatlah sketsa relasi R(b) Carilah ranah dari Rn R'pada diagram koordinatR* x R'I.nS(c) Tentukan jangkauan dari Rn s.159MODUL LOGIICA MATEMATIICA

RELASIa). Tulis R sebagai pasagan terurutb). Tentukan domain, range dan relasi invers dari R23.Buatlah graf untuk R pada soal no 22161MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASI SOAL-SOAL DAN PENYELESAIAN 1'1) Misalkan A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , B {4, 5, 6, 7, 8, 9} dan relasi R dari A ke B diberikan oleh R {(1,5),(4,5),(1 ,4),(4 .