fdokumen.id

MODEL INDEKSTUNGGALM.Andryzal Fajarandryzal [email protected]

William Sharpe mengembangkan model yangdisebut dengan model indeks tunggal. Dimana modelini digunakan untuk menyederhanakan perhitungandi model Markowitz dan juga digunakan untukmenghitung return ekspektasian dan risiko portofolio.

MODEL INDEKS TUNGGALModel indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa hargadari suatu sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks pasar.Hal ini menyarankan bahwa return-return dari sekuritas mungkinberkorelasi karena adanya reaksi umum (common response) terhadapperubahan-perubahan nilai pasar.

Dengan dasar ini, return sekuritas ke-i dapat dirumuskan:Ri ai βi . RMai αi eiRi αi βi . RM eiKeterangan:Ri retrun sekuritas ke iRM tingkat retrun dari indeks pasarai kompenen dari retrun sekuritas ke-iβi beta (dibahas bab 11)αi nilai ekspektasian dari return pasar yg independen thdpreturn pasarei kesalahan residu

Komponen Model IndeksTunggalModel indeks tunggal membagi return sekuritas kedalam dua komponen utama, yaitu:1.Komponen return yang unik dan independenterhadap return pasar (αi).2.Komponen return yang berhubungan denganreturn pasar (βi).

Model indeks tunggal juga dinyataka dalamretrun ekspektasian, dirumuskan:E(Ri) E(αi) E(βi . RM) E(ei)E(Ri) αi βi .E(RM) Contoh: Diketahui return ekspektasian dari indeks pasaradalah 25%. Bagian dari retrun ekspaktasiansuatu sekuritas yg independen thdp pasar (αi)adalah 4% dan βi sebesar 0,75. Ternyata returnrealisasi sebesar 26%.

Jawaban:E(Ri) αi βi . E(RM)E(Ri) 4% 0,75 . 25%E(Ri) 22,75%Jadi nilai retrun realisasi berdasarkan model indeks tunggaladalah Ri 22,75% ei. Dan kesalahan estimasi (ei) adalahsebesar 26% - 22,75% 3,25%Jika nilai retrun realisasinya sama dengan nilai retrun yangdiharapkan, maka investor mengestimasi retrun ekspektasiantanpa kesalahan.

Asumsi Model Indeks Tunggal Kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak berkovari dengan kesalahanresidu sekuritas ke-j atau ei tidak berkovari (berkorelasi) dengan ej untuksemua nilai dari i dan j. Asumsi ini secara matematis dapat dituliskansebagai:Cov (ei,ej) 0E (ei.ej) 0

Return indeks pasar (RM) dan kesalahan residu untuk setiap sekuritas (ei)merupakan variabel-variabel acak. Oleh karena itu, ei tidak berkovaridengan return indeks pasar, RM. Asumsi ini dapat dinyatakan secaramatematis sebagai:Cov (ei,RM) 0E (ei.[RM-E(RM)]) 0

VARIAN RETURN SEKURITAS MODELINDEKS TUNGGALSecara umum varians return dari suatu sekuritas sebagai berikut:Ri αi βi . RM eidisubtitusikanE(Ri) αi βi .E(RM)Maka rumus varian return sekuritasberdasarkan model indekstunggal sebagaiberikut:

Resiko (varian retrun) sekuritas yang dihitungberdasarkan model ini terdiri dari dua bagian: Resiko yang berhubungan dengan pasar (marketrelated risk), yaitu: Resiko untuk masing – masing perusahaan (uniquersik), yaitu:

Contoh A: Retrun saham PT.A dan return indeks pasar selama 7 periode dan ratarata aritmatikanya adalah sebagai berikut:Periode ke-tRetrun saham PT.A(RA)Retrun Indeks Rata-rataaritmatikaDiketahui αi dan βi adalah konstan dari waktu ke waktu. Dan βA untuksekuritas PT.A adalah 1,7.

Hitunglah :1.Nilai ekspektasian PT.A (αA)2.Nilai ekspektasian dari kesalahan residu E(eA)3.Varian dari kesalahan residu4.Varian dari retrun pasar5.Total resiko berdasarkan model indeks tunggal dan varianretrun sekuritas.1 1.

Periodeke-t1234567eA,t RA,t - αA – (ΒA . RM,t)eA,1 0,060-0,0216-(1,7.0,040) -0,0296eA,2 0,077-0,0216-(1,7.0,041) -0,01432.eA,3 0,095-0,0216-(1,7-0,050) -0,0116E(eA) (-0,0296-0,0143eA,4 0,193-0,0216-(1,7-0,055) 0,07790,0116 0,0779eA,5 0,047-0,0216-(1,7-0,015) 0,0001 0,0001-0,0191-0,0031) /eA,6 0,113-0,0216-(1,7-0,065) 0,0191(7-1)eA,7 0,112-0,0216-(1,7-0,055) 0,0031 03. 𝜎𝑒𝐴2 [( 0,0296 0)2 ( 0,0143 0) (-0,0116-0)2 (0,0779 0)2 (0,0001-0)2 ( 0,0191 0)2 (-0,0031-0)2 ]/(7 1) 0,0068/6𝟐𝟒.𝛔 𝐌 0,00128𝟎, 𝟎𝟒𝟎 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 𝟎, 𝟎𝟒𝟏 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 (𝟎, 𝟎𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔)𝟐 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 𝟎, 𝟎𝟔𝟓 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 𝟎, 𝟎𝟓𝟓 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 /(𝟕 𝟏) 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟓𝟔/𝟔 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔

5a.total resiko berdasarkan model indeks tunggal𝜎𝐴 2 𝛽𝐴 2 . 𝜎𝑀 2 𝜎𝑒𝐴 2 1,7 2 . 0,00026 0,00128 0,002 b. Total resiko berdasarkan varian retrun sekuritas𝜎𝐴2 [(0,060 0,09957)2 0,077 0,09957 2 0,095 0,09957 2 0,193 0,09957 2 0,047 0,09957 2 0,113 0,09957 2 0,112 0,09957 2 ]/(7 1) 0,002

KOVARIAN RETURN ANTARA SEKURITASMODEL INDEKS TUNGGAL Rumus kovarian retrun antar dua sekuritas:𝝈𝒊𝒋 𝑬 𝑹𝒊 𝑬 𝑹𝒊 . 𝑹𝒋 𝑬 𝑹𝒋Ri,j αi βi . RM eiE(Ri,j) αi βi . E(RM) disubtitusikan𝝈𝒊𝒋 𝜷𝒊 . 𝜷𝒋 . 𝝈𝑴 𝟐Contoh :Dua buah sekuritas A dan B masing-masingmempunyai Beta yaitu βA 1,7 dan βB 1,3. Varianreturn dari indeks pasar diketahui sebesar 0,00026.Kovarian antara sekuritas A dan B adalah :Jawab :σij βA . βB . σM² 1,7 . 1,3 . 0,00026 0,00057

PARAMETER – PARAMETER INPUTUNTUK MODEL MARKOWITZ Model indeks tunggal dapat digunakan untukmenghitung return ekspektasi (E(Ri)), varians darisekuritas (σi2), dan kovarians antar sekuritas (σij) yangmerupakan parameter-parameter input untuk analisisportofolio menggunakan model Markowitz.

Contoh B:PeriodeReturnKe-tsaham PT ‘A’(RA)1234567RatarataReturnsaham PT‘B’ (RB)Return index 650,0550,099570,29570,04586Setelah perhitungan seperti contoh A :Diketahui : 𝛽𝐴 1,7, 𝜎𝐴2 0,02, 𝜎𝑀2 0,00026,𝛽𝐵 1,3, 𝜎𝐵2 0,01998, 𝑊𝐴. 𝐵 0,5

Hitunglah Kovarian antara return PT.A dan PT.B Resiko portofolio berdasarkan model indeks tunggalJawab :1.𝝈𝑨. 𝑩 𝜷𝑨. 𝜷𝑩. 𝝈𝑴𝟐 1.7.1,3.0,00026 0,000572. 𝝈𝒑𝟐 𝑾𝑨𝟐 . 𝝈𝑨𝟐 𝑾𝑩𝟐 . 𝝈𝑩𝟐 𝟐. 𝒘𝑨. 𝒘𝑩. 𝝈𝑨𝑩 (𝟎, 𝟓)𝟐 . 𝟎, 𝟎𝟎𝟐 (𝟎, 𝟓)𝟐 . 𝟎, 𝟎𝟏𝟗𝟗𝟖 𝟐 . 𝟎, 𝟓. 𝟎, 𝟓 . 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟕 0,0035

ANALISIS PORTOFOLIO MENGGUNAKANMODEL INDEKS TUNGGALReturn Ekspektasi PortofolioReturn realisasi merupakan rata-rata tertimbang dari returnreturn realisasi tiap-tiap sekuritas tunggal,𝒏𝑬 𝑹𝑷 𝒏𝒘𝒊 . 𝜶𝒊 𝒊 𝟏𝒘𝒊 . 𝜷𝒊 . 𝑬(𝑹𝑴 )𝒊 𝟏

RESIKO PORTOFOLIORisiko adalah kemungkinan terjadinya perbedaan antara return aktualdengan return yang diharapkan.𝒏𝝈𝒑 𝟐 (𝒏𝒘𝒊 . 𝜷𝒊 )𝟐 . 𝝈𝑴𝟐 (𝒊 𝟏𝒘𝒊 . 𝝈𝒆𝒊 )𝟐𝒊 𝟏

Perbandingan jumlah parameterJumlah sekuritas (n)1234567891020501002005001,0005,00010,000jumlah parameter yang harus dihitungmodel Makrowitzmodel indeks tunggaln (n.(n-1)/2(2.n ,0012,00110,00120,001

SIMPULANSemakin banyak sekuritas dalam portofolio maka nilai resiko yangtidak sistematik akan semakin kecil nilainya dan akan bernilai nol jikajumlah sekuritas semakin besar. Resiko portofolio yang terdiversifikasidengan baik hanya terdiri dari unsur sistematik saja.

MODEL PASAR Merupakan bentuk dari model indeks tunggaldengan batasan yang lebih sedikit. Bentuk modelpasar yang sama dengan bentuk model indekstunggal mempunyai return dan return ekspektasiansebagai berikut :Ri αi βi . RM ei danE(Ri) αi βi . E(RM)

PORTOFOLIO OPTIMALBERDASARKAN MODEL INDEKSTUNGGAL Dimana : ERBi E Ri RBRERBi Biaexcess return to beta securities E(Ri) Ekspektasi return berdasarkan model indekstunggal untuk sekuritas i RBR Return bebas resiko BiBeta Sekuritas i

Langkah-langkah menentukan besarnyatitik pembatas :1. Urutkan sekuritas berdasarkan nilai ERB terbesar kekecil, yang terbesar merupa-kan kandidat untukdimasukkan ke dalam Portofolio Optimal2. Hitung nilai Ai dan Bi untuk masing-masing sekuritas kei, sebagai berikut2.aAi E Ri RBR .Bi 2ei2.bBi Bi2 ei

3. Menghitung nilai CiCi 2σm Ai21 σm Bi σm2 varian dari return Indeks Pasar. Nilai Ci adalah nilai C untuk sekuritas ke-i yangdihitung dari kuulasi nilai-nilai A1 sampai dengan Aidan nilai B1 sampai dengan Bi. Dengan mensubstitusikan nilai Ai dan Bi maka rumusCi menjadi sepeti dibuku halaman 432. :D1. Besarnya cut off point (C*) adalah nilai Ci yang terbesar2. Sekuritas yang membentuk Portofolio Optimal adalahsekuritas yang mem-punyai nilai ERB lebih besar atausama nilainya. ERB di titik C* adalah nilai ERB yang kecil,tidak disertakan dalam pem-bentukan Portofolio Optimal.

5. Menentukan besarnya proporsi sekuritaswi xi x5.ai izi 2 ERBi C * ei5.bwi Proporsi Sekuritask jumlah sekuritas di portofolio i beta sekuritas ke-i ei2 varian dari kesalahan residu sekuritas ke-iERBi excess retrun to Beta sekuritas ke-iC* nilai Ci terbesar

Contoh D:Nilai SahamE(Ri)Biσei ,02,0568,58,6778,333Diketahui:1. Retrun aktiva bebasresiko (RBR) 10%2. Varian indeks pasar 10%Untuk masing –masing sekuritas dapat dihitung yg hasilnya disajikan ditabel berikut:Nama E(Ri) 𝑖 2 ERBi �� 1𝑗 67,0917,7878,1147,7497,208

Simpulan:Sekuritas yang membentuk portofolio optimal adalahsekuritas yang mempunyai Erb lebih besar dari Ci, yaitusekuritas D, C, dan E

iNamaSahamE(Ri)Bi𝜎𝑒𝑖 29Total1,000Nilai Zi di tabel dihitung berdasarkan rumus 5.b, sebagai berikut:Z1 (1,50/5,0)(8,677 – 8,114) 0,159Z2 (2,00/7,5)(8,5 – 8,114) 0,103Z3 (1,80/20)(8,333 – 8,114) 0,197Besarnya nilai Σ Zj adalah sebesar Z1 Z2 Z3 atau 0,159 0,103 0.197 0,459.Nilai wi merupakan proporsi sekuritas ke-i. dapat dihitung berdasarkan rumus 5.aW1 0,159/0,459 0,346 34,6%W2 0,103/0,459 0,225 22,5%W3 0,197/0,459 0,429 42,9%

TERIMAKASIH